巧借輔助線解決梯形問題

時間：2022-10-26 07:10:28 學習方法

巧借輔助線解決梯形問題

　　梯形沒有平行四邊形、矩形等特殊四邊形那么多性質，所以有關梯形的證明、計算題，常有一定的難度，如果能巧借輔助線，則能有效地化難為易。

　　一、移腰

　　1、移動一腰

　　例1 梯形兩底長分別為14cm和24cm，下底與腰的夾角分別是60°和30°，求較短腰長。

　　解析：如圖1，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=14cm，BC=24cm，∠B=60°，∠C=30°。過點A作AE//DC交BC于E，得到平行四邊形AECD和△ABE，故AE=DC(相當于將腰DC移到AE的位置)，AD=EC(相當于將上底AD移到下底上，BE為兩底之差)，∠C=∠AEB=30°(相當于將∠C移到∠AEB的位置)。

　　圖1

這樣，梯形的兩腰，兩底之差，下底與腰的兩個夾角都集中于Rt△ABE中，于是得到較短腰。

　　2、移動兩腰

　　例2 如圖2，梯形ABCD中，AD//BC，E、F分別是AD、BC的中點，且EF⊥BC。

　　求證：∠B=∠C。

　　圖2

分析：過點E作EM//AB，EN//DC，分別交BC于點M、N。梯形兩腰、下底與腰的兩個夾角集中于△EMN中，由E、F分別是AD、BC的中點容易得到，又由EF⊥BC，得EM=EN，故∠EMN=∠ENM，所以∠B=∠C。

　　二、移對角線

　　例3 如圖3，已知梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，對角線AC、BD互相垂直，梯形的兩底之和為8。求梯形的高與面積。

　　圖3

　　解析：過點D作DE//AC交BC的延長線于點E，過點D作DM⊥BC于點M，這樣得到平行四邊形ACED，所以AC=DE(相當于將對角線AC移到DE的位置)，AD=CE(相當于將上底、下底移到一起，BE為兩底之和)。由AC⊥BD，得BD⊥DE。

這樣將兩對角線，兩底和，兩對角線夾角集中于△BDE中。容易得到DM為等腰直角△BDE的BE邊上的高，所以，即梯形的高為4，故。

　　三、移底

　　例4 如圖4，梯形ABCD中，AB//CD，E為腰AD的中點，且AB+CD=BC。

　　求證：BD⊥CE。

　　圖4

　　分析：延長CE交BA的延長線于點F，因為點E為AD的中點，可得△DCE≌△AFE，故CE=FE，CD=AF，由AB+CD=BC，得BC=BF，故BE⊥CE。

　　例5 如圖5，在梯形ABCD中，AB//CD，且AB>CD，E、F分別是AC和BD的中點。

求證：。

　　圖5

分析：連接DE并延長交AB于點G，易得△AGE≌△CDE，故DC=GA，DE=EG，從而得。

　　四、作高

　　例6 如圖6，在梯形ABCD中，AB//CD，兩條對角線AC=20cm，BD=15cm，梯形高為12cm，求梯形ABCD的面積。

　　圖6

　　解析：此題有兩種解法。

法一：如圖6，分別過點C、D作CE⊥AB于點E，DF⊥AB于點F，得矩形DCEF，在Rt△ACE中，AC=20cm，CE=12cm，可得AE=16cm。同理BF=9cm，顯然BF+AE=AB+CD=25(cm)，可求梯形面積為。法二：如圖7，過點D作DE//CA交BA的延長線于點E，過點D作DF⊥BA于點F，在Rt△DEF中，DE=AC=20cm，DF=12cm，由勾股定理可得EF=16cm。同理，FB=9cm，所以AB+CD=AB+AE=EF+FB=25(cm)，進而求得梯形面積為。

　　圖7

　　小結：通過添加輔助線，將梯形問題轉化為特殊平行四邊形和特殊三角形問題，從而解決問題。添加輔助線的規律可歸納為以下幾點：

　　1、當兩腰(或對角線)具備特殊關系時，移腰(或對角線)，構造等腰三角形或直角三角形。

　　2、當涉及面積時，作高，構造直角三角形。

　　3、當涉及腰(或對角線)的中點時，可添加輔助線構造全等三角形。

　　4、當涉及兩底的和或差時，可靈活利用上述3點，將兩底移到同一直線上。

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