余弦定理教學教案
余弦定理
目標
1．知識與技能:掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。
2.過程與方法:利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實踐演算掌握運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題，
3．情態(tài)與價值：培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。
重點：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應用；
教學難點：勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用。
學法：首先研究把已知兩邊及其夾角判定三角形全等的方法進行量化，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題，利用向量的數(shù)量積比較容易地證明了余弦定理。從而利用余弦定理的第二種形式由已知三角形的三邊確定三角形的角
教學設想
[創(chuàng)設情景] C
如圖1．1-4，在 ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和 C，求邊c b a
A c B
[探索研究] (圖1．1-4)
聯(lián)系已經(jīng)學過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？
用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。
由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。
A
如圖1．1-5，設 ， ， ，那么 ，則
C B
(圖1．1-5)
從而
同理可證
余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即
思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？（由學生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：
[理解定理]從而知余弦定理及其推論的基本作用為：
①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；
②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？
（由學生總結）若 ABC中，C= ，則 ，這時
由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。
例題:例1．在 ABC中，已知 ， ， ，求b及A
⑴解：∵
= cos
= = 8 ∴
求 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：∵cos ∴
解法二：∵sin 又∵ ＞
＜ ∴ ＜ ， 即 ＜ ＜ ∴
評述：解法二應注意確定A的取值范圍。
例2．在 ABC中，已知 ， ， ，解三角形
解：由余弦定理的推論得：
cos ；
cos ；
[隨堂練習]第51頁練習第1、2、3題。
[補充練習]在 ABC中，若 ，求角A（答案：A=120 ）
[課堂小結]（1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，
勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的應用范圍：①．已知三邊求三角；
②．已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。
（五）：作業(yè)：第52頁[習題2.1]A組第5題。
三角形中的幾何計算
教學目標
1．知識與技能:掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應用。
2. 過程與方法:通過引導學生分析，解答三個典型例子，使學生學會綜合運用正、余弦定理，三角函數(shù)公式及三角形有關性質(zhì)求解三角形問題。
3.情態(tài)與價值：通過正、余弦定理，在解三角形問題時溝通了三角形的有關性質(zhì)和三角函數(shù)的關系，反映了事物之間的必然聯(lián)系及一定條件下相互轉化的可能，從而從本質(zhì)上反映了事物之間的內(nèi)在聯(lián)系。
教學重點：在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應用。
教學難點：正、余弦定理與三角形的有關性質(zhì)的綜合運用。
學法：通過一些典型的實例來拓展關于解三角形的各種題型及其解決方法。
教學設想:[創(chuàng)設情景]:思考：在 ABC中，已知 ， ， ，解三角形。從此題的分析我們發(fā)現(xiàn)，在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，在某些條件下會出現(xiàn)無解的情形。下面進一步來研究這種情形下解三角形的問題。
[探索研究]:例1．在 ABC中，已知 ，討論三角形解的情況
分析：先由 可進一步求出B；則 從而
1．當A為鈍角或直角時，必須 才能有且只有一解；否則無解。
2．當A為銳角時，如果 ≥ ，那么只有一解；
如果 ，那么可以分下面三種情況來討論：（1）若 ，則有兩解；
（2）若 ，則只有一解； （3）若 ，則無解。
評述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當A為銳角且 時，有兩解；其它情況時則只有一解或無解。
[隨堂練習1]
（1）在 ABC中，已知 ， ， ，試判斷此三角形的解的情況。
（2）在 ABC中，若 ， ， ，則符合題意的b的值有_____個。
（3）在 ABC中， ， ， ，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍。 （答案：（1）有兩解；（2）0；（3） ）
例2．在 ABC中，已知 ， ， ，判斷 ABC的類型。
分析：由余弦定理可知
（注意： ）
解： ，即 ，∴ 。
[隨堂練習2]
（1）在 ABC中，已知 ，判斷 ABC的類型。
（2）已知 ABC滿足條件 ，判斷 ABC的類型。
（答案：（1） ；（2） ABC是等腰或直角三角形）
例3．在 ABC中， ， ，面積為 ，求 的值
分析：可利用三角形面積定理 以及正弦定理
解：由 得 ，
則 =3，即 ，從而
[隨堂練習3]
（1）在 ABC中，若 ， ，且此三角形的面積 ，求角C
（2）在 ABC中，其三邊分別為a、b、c，三角形的面積 ，求角C
（答案：（1） 或 ；（2） ）
[課堂小結]（1）在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，
有兩解或一解或無解等情形；
（2）三角形各種類型的判定方法；
（3）三角形面積定理的應用。
（五）課時作業(yè):
（1）在 ABC中，已知 ， ， ，試判斷此三角形的解的情況。
（2）設x、x+1、x+2是鈍角三角形的三邊長，求實數(shù)x的取值范圍。
雙曲線、拋物線的參數(shù)方程學案
第05時
2、2、2雙曲線、拋物線的參數(shù)方程
學習目標
了解雙曲線的參數(shù)方程的建立，熟悉拋物線參數(shù)方程的形式，會運用參數(shù)方程解決問題，進一步加深對參數(shù)方程的理解。
學習過程
一、學前準備
復習：復習拋物線的標準方程的四種形式，并填空：
（1） 表示頂點在 ，
焦點在 的拋物線；
（2） 表示頂點在 ，
焦點在 的拋物線。
二、新導學
探究新知（預習教材P12～P16，找出疑惑之處）
1、類比橢圓參數(shù)方程的建立，若給出一個三角公式 ，你能寫出雙曲線
的參數(shù)方程嗎？
2、如圖，設拋物線的普通方程為 , 為拋物線上除頂點外的任一點，以
射線 為終邊的角記作 ，則 ，①
由 和①解出 得到：
（t為參數(shù)）
你能否根據(jù)本題的解題過程寫出拋物線的四種不同形式方程對應的參數(shù)方程？并說出參數(shù)表示的意義。
應用示例
例1．如圖， 是直角坐標原點，A ，B是拋物線 上異于頂點的兩動點，且 ，求點A、B在什么位置時， 的面積最小？最小值是多少？
解：
反饋練習
1．求過P（0，1）到雙曲線 的最小距離.
解：
三、總結提升
本節(jié)小結
1．本節(jié)學習了哪些內(nèi)容？
答：1.了解雙曲線的參數(shù)方程的建立，熟悉拋物線參數(shù)方程的形式.
2.會運用參數(shù)方程解決問題，進一步加深對參數(shù)方程的理解。
學習評價
一、自我評價
你完成本節(jié)導學案的情況為（ ）
A．很好 B．較好 C． 一般 D．較差
后作業(yè)
1、已知拋物線 ，則它的焦點坐標為（ ）
A、 B、
C、 D、
2、對下列參數(shù)方程表示的圖形說法正確的是（ ）
A、①是直線、②是橢圓
B、①是拋物線、②是橢圓或圓
C、①是拋物線的一部分、②是橢圓
D、①是拋物線的一部分、②是橢圓或圓
3.設P為等軸雙曲線 上的一點， 為兩個焦點，證明 .
4、經(jīng)過拋物線 的頂點O任作兩條互相垂直的線段OA和OB，以直線OA的斜率k為參數(shù)，求線段AB的中點的軌跡的參數(shù)方程。
高二數(shù)學2.4 二次分布學案
2.4 二項分布（二）
一、知識要點
1．獨立重復試驗
二、典型例題
例1．甲、乙兩人進行五局三勝制的象棋比賽，若甲每盤的勝率為 ，乙每盤的勝率為 （和棋不算），求：
（1）比賽以甲比乙為3比0勝出的概率；
（2）比賽以甲比乙為3比2勝出的概率。
例2．某地區(qū)為下崗免費提供財會和計算機培訓，以提高下崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項培訓、參加兩項培訓或不參加培訓，已知參加過財會培訓的有60%，參加過計算機培訓的有75%，假設每個人對培訓項目的選擇是相互獨立的，且各人的選擇相互之間沒有影響。
（1）任選1名下崗人員，求該人參加過培訓的概率；
（2）任選3名下崗人員，記X為3人中參加過培訓的人數(shù)，求X的分布列。
例3．A，B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進行對比試驗，每個試驗組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效。若在一個試驗組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗組為甲類組，設每只小白鼠服用A有效的概率為 ，服用B有效的概率為 。
（1）求一個試驗組為甲類組的概率；
（2）觀察3個試驗組，用X表示這3個試驗組中甲類組的個數(shù)，求X的分布列。
三、鞏固練習
1．某種小麥在田間出現(xiàn)自然變異植株的概率為0.0045，今調(diào)查該種小麥100株，試計算兩株和兩株以上變異植株的概率。
2．某批產(chǎn)品中有20%的不含格品，進行重復抽樣檢查，共取5個樣品，其中不合格品數(shù)為X，試確定X的概率分布。
3．若一個人由于輸血而引起不良反應的概率為0.001，求
（1）2000人中恰有2人引起不良反應的概率；
（2）2000人中多于1人引起不良反應的概率；
四、堂小結
五、后反思
六、后作業(yè)
1．接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應的概率為0.80，現(xiàn)有5人接種該疫苗，至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應的概率為（精確為0.0001）_________________。
2．一射擊運動員射擊時，擊中10環(huán)的概率為0.7，擊中9環(huán)的概率0.3，則該運動員射擊3次所得環(huán)數(shù)之和不少于29環(huán)的概率為_______________。
3．某射手射擊1次，擊中目標的概率是0.9，他連續(xù)射擊4次，且各次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響，有下列結論：①他第3次擊中目標的概率是0.9；②他恰好擊中目標3次的概率是0.93×0.1；③他至少擊中目標1次的概率是1－0.14。
其中正確結論的序號是_______________。（寫出所有正確結論的序號）
4．某產(chǎn)品10，其中3次品，現(xiàn)依次從中隨機抽取3（不放回），則3中恰有2次品的概率為_____________。
5．某射手每次射擊擊中目標的概率都是0.8，現(xiàn)在連續(xù)射擊4次，求擊中目標的次數(shù)X的概率分布。
6．某安全生產(chǎn)監(jiān)督部門對6家小型煤礦進行安全檢查（簡稱安檢），若安檢不合格，則必須進行整改，若整改后經(jīng)復查仍不合格，則強行關閉，設每家煤礦安檢是否合格是相互獨立的，每家煤礦整改前安檢合格的概率是0.6，整改后安檢合格的概率是0.9，計算：
（1）恰好有三家煤礦必須整改的概率；
（2）至少關閉一家煤礦的概率。（結果精確到0.01）
7．9粒種子分種在甲、乙、丙3個坑內(nèi)，每坑3粒，每粒種子發(fā)芽的概率為0.5，若一個坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽，則這個坑不需要補種；若一個坑內(nèi)的種子都沒發(fā)芽，則這個坑需要補種。
（1）求甲坑不需要補種的概率；
（2）求3個坑中需要補種的坑數(shù)X的分布列；
（3）求有坑需要補種的概率。（精確到0.001）
解三角形
一、目標
1、知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法進一步解決有關三角形的問題, 掌握三角形的面積公式的簡單推導和應用
2、過程與方法：本節(jié)課補充了三角形新的面積公式，巧妙設疑，引導學生證明，同時總結出該公式的特點，循序漸進地具體運用于相關的題型。另外本節(jié)課的證明題體現(xiàn)了前面所學知識的生動運用，教師要放手讓學生摸索，使學生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦定理的特點，能不拘一格，一題多解。只要學生自行掌握了兩定理的特點，就能很快開闊思維，有利地進一步突破難點。
3、情感態(tài)度與價值觀：讓學生進一步鞏固所學的知識，加深對所學定理的理解，提高創(chuàng)新能力；進一步培養(yǎng)學生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學生在探究中體驗愉悅的成功體驗
二、重點：推導三角形的面積公式并解決簡單的相關題目。
教學難點：利用正弦定理、余弦定理來求證簡單的證明題。
三、教學方法：探析歸納，講練結合
四、教學過程
Ⅰ.課題導入
[創(chuàng)設情境]
師：以前我們就已經(jīng)接觸過了三角形的面積公式，今天我們來學習它的另一個表達公式。在
ABC中，邊BC、CA、AB上的高分別記為h 、h 、h ，那么它們?nèi)绾斡靡阎吅徒潜硎荆?/p>
生：h =bsinC=csinB，h =csinA=asinC，h =asinB=bsinaA
師：根據(jù)以前學過的三角形面積公式S= ah,應用以上求出的高的公式如h =bsinC代入，可以推導出下面的三角形面積公式，S= absinC，大家能推出其它的幾個公式嗎？
生：同理可得，S= bcsinA, S= acsinB
師：除了知道某條邊和該邊上的高可求出三角形的面積外，知道哪些條件也可求出三角形的面積呢？
生：如能知道三角形的任意兩邊以及它們夾角的正弦即可求解
Ⅱ.探析新課
[范例講解]
例1、在 ABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S（精確到0.1cm ）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5 ;（2）已知B=62.7 ,C=65.8 ,b=3.16cm;（3）已知三邊的長分別為a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm
分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問題，與解三角形問題有密切的關系，我們可以應用解三角形面積的知識，觀察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面積。
解：（1）應用S= acsinB，得 S= 14.8 23.5 sin148.5 ≈90.9(cm )
(2)根據(jù)正弦定理， = ，c = ，S = bcsinA = b
A = 180 -(B + C)= 180 -(62.7 + 65.8 )=51.5
S = 3.16 ≈4.0(cm )
(3)根據(jù)余弦定理的推論，得cosB = = ≈0.7697
sinB = ≈ ≈0.6384應用S= acsinB，得
S ≈ 41.4 38.7 0.6384≈511.4(cm )
例2、如圖,在某市進行城市環(huán)境建設中,要把一個三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園,經(jīng)過測量得到這個三角形區(qū)域的三條邊長分別為68m,88m,127m,這個區(qū)域的面積是多少？（精確到0.1cm ）？
師：你能把這一實際問題化歸為一道數(shù)學題目嗎？
生：本題可轉化為已知三角形的三邊，求角的問題，再利用三角形的面積公式求解。
由學生解答，老師巡視并對學生解答進行講評小結。
解：設a=68m,b=88m,c=127m,根據(jù)余弦定理的推論，cosB= = ≈0.7532，sinB= 0.6578應用S= acsinB S ≈ 68 127 0.6578≈2840.38(m )
答：這個區(qū)域的面積是2840.38m 。
例3、在 ABC中，求證：（1） （2） + + =2（bccosA+cacosB+abcosC）
分析：這是一道關于三角形邊角關系恒等式的證明問題，觀察式子左右兩邊的特點，聯(lián)想到用正弦定理來證明
證明：（1）根據(jù)正弦定理，可設 = = = k，顯然 k 0，所以
左邊= = =右邊
（2）根據(jù)余弦定理的推論，
右邊=2(bc +ca +ab )
=(b +c - a )+(c +a -b )+(a +b -c )=a +b +c =左邊
變式練習1：已知在 ABC中， B=30 ,b=6,c=6 ,求a及 ABC的面積S
提示：解有關已知兩邊和其中一邊對角的問題，注重分情況討論解的個數(shù)。
答案：a=6,S=9 ;a=12,S=18
Ⅲ.課堂練習：課本練習第1、2題
Ⅳ.課時小結：利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉化為只含邊的式子或只含角的三角函數(shù)式，然后化簡并考察邊或角的關系，從而確定三角形的形狀。特別是有些條件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以兩者混用。
Ⅴ.課后作業(yè)：課本習題2-3 A組第12、14、15題
等比數(shù)列的概念及通項
M
課時20 等比數(shù)列的概念及通項
目標：1．掌握等比數(shù)列的概念。
2．能根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，進行簡單的應用。
過程：
1．觀察以下數(shù)列：
1，2，4，8，16，……
3，3，3，3，……
2．相比與等差數(shù)列，以上數(shù)列有什么特點？
等比數(shù)列的定義：
定義的符號表示 ，注意點：① ，② 。
3．判斷下列數(shù)列是否為等比數(shù)列，若是，請指出公比 的值。
（1）
（2）
（3）
（4）
4．求出下列等比數(shù)列的未知項。
（1） ； （2） 。
5．已知 是公比為 的等比數(shù)列，新數(shù)列 也是等比數(shù)列嗎？如果是，公比是多少？
6．已知無窮等比數(shù)列 的首項為 ，公比為 。
（1）依次取出數(shù)列 中的所有奇數(shù)項，組成一個新數(shù)列，這個數(shù)列還是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項和公比是多少？
（2）數(shù)列 （其中常數(shù) ）是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項和公比是多少？
二、通項公式
1．推導通項公式
例1．在等比數(shù)列 中，
（1）已知 ，求 ； （2）已知 ，求 。
例2．在243和3中間插入3個數(shù)，使這5個數(shù)成等比數(shù)列，求這三個數(shù)。
例3．已知等比數(shù)列 的通項公式為 ，（1）求首項 和公比 ；
（2）問表示這個數(shù)列的點 在什么函數(shù)的圖像上？
例4．類比等差數(shù)列填空：
等差數(shù)列等比數(shù)列
通項
定義從第二項起，每一項與它的前一項的差都是同一個常數(shù)。
首項，公差（比）
取值有無限制沒有任何限制
相應圖像的特點直線 上孤立的點
課后作業(yè)：
1． 成等比數(shù)列，則 = 。
2．在等比數(shù)列 中，
（1）已知 ，則 = ， = 。
（2）已知 ，則 = 。
（3）已知 ，則 = 。
3．設 是等比數(shù)列，判斷下列命題是否正確？
（1） 是等比數(shù)列 （ ）； （2） 是等比數(shù)列 （ ）
（3） 是等比數(shù)列 （ ）； （4） 是等比數(shù)列 （ ）
（5） 是等比數(shù)列 （ ）； （6） 是等比數(shù)列 （ ）
4．設 成等比數(shù)列，公比 =2，則 = 。
5．在G.P 中，（1）已知 ，求 ；（2）已知 ，求 。
6．在兩個同號的非零實數(shù) 和 之間插入2個數(shù)，使它們成等比數(shù)列，試用 表示這個等比數(shù)列的公比。
7．已知公差不為0的等差數(shù)列的第2，3，6項，依次構成一個等比數(shù)列，求該等比數(shù)列的通項。
8．已知 五個數(shù)構成等比數(shù)列，求 的值。
9．在等比數(shù)列 中， ，求 。
10．三個正數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為15，如果它們分別加上1，3，9就成等比數(shù)列，求這三個數(shù)。
11．已知等比數(shù)列 ，若 ，求公比 。
12．已知 ，點 在函數(shù) 的圖像上，（ ），設 ，求證： 是等比數(shù)列。
問題統(tǒng)計與分析
平面向量的坐標表示
總 題向量的坐標表示總時第23時
分 題平面向量的坐標運算分時第2時
目標掌握平面向量的坐標表示及坐標運算
重點難點掌握平面向量的坐標表示及坐標運算；平面向量坐標表示的理解
引入新
1、在直角坐標平面內(nèi)一點 是如何表示的？ 。
2、以原點 為起點， 為終點，能不能也用坐標表示 呢？例：
3、平面向量的坐標表示。
4、平面向量的坐標運算。
已知 、 、實數(shù) ，那么
例題剖析
例1、如圖，已知 是坐標原點，點 在第一象限， ， ，求向量 的坐標。
例2、如圖，已知 ， ， ， ，求向量 ， ， ， 的坐標。
例3、用向量的坐標運算解：如圖，質(zhì)量為 的物體靜止的放在斜面上，斜面與水平面的夾角為 ，求斜面對物體的摩擦力 。
例4、已知 ， ， 是直線 上一點，且 ，求點 的坐標。
鞏固練習
1、與向量 平行的單位向量為（ ）
、 、 、 或 、
2、已知 是坐標原點，點 在第二象限， ， ，求向量 的坐標。
3、已知四邊形 的頂點分別為 ， ， ， ，求向量 ， 的坐標，并證明四邊形 是平行四邊形。
4、已知作用在原點的三個力 ， ， ，求它們的合力的坐標。
5、已知 是坐標原點， ， ，且 ，求 的坐標。
堂小結
平面向量的坐標表示；平面向量的坐標運算。
后訓練
班級：高一（ ）班 姓名__________
一、基礎題
1、若向量 ， ，則 ， 的坐標分別為（ ）
2、已知 ，終點坐標是 ，則起點坐標是 。
3、已知 ， ，向量 與 相等.則 。
4、已知點 ， ， ，則 。
5、已知 的終點在以 ， 為端點的線段上，則 的最大值和最小值分別等于 。
6、已知平行四邊形 的三個頂點坐標分別為 ， ， ，求第四個頂點 的坐標。
7、已知向量 ， ，點 為坐標原點，若向量 ， ，求向量 的坐標。
8、已知點 ， 及 ， ，求點 ， 和 的坐標。
三、能力題
9、已知點 ， ， ，若點 滿足 ，
當 為何值時：（1）點 在直線 上？ （2）點 在第四象限內(nèi)？
基本不等式
第04講： 基本不等式
高考《考試大綱》的要求：
① 了解基本不等式的證明過程
② 會用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題
（一）基礎知識回顧：
1.定理1. 如果a,b ,那么 ，（當且僅當_______時，等號成立）.
2.定理2（基本不等式）：如果a,b>0,那么______________（當且僅當_______時，等號成立）.
稱_______為a,b的算術平均數(shù)，_____為a,b的幾何平均數(shù)。基本不等式又稱為________.
3. 基本不等式的幾何意義是：_________不小于_________. 如圖
4.利用基本不等式求最大（小）值時，要注意的問題：（一“正”；二“定”；三“相等”）
即: （1）和、積中的每一個數(shù)都必須是正數(shù)；
（2）求積的最大值時，應看和是否為定值；求和的最小值時，應看積是否為定值，；
簡記為：和定積最_____，積定和最______.
（3）只有等號能夠成立時，才有最值。
（二）例題分析：
例1．（2006陜西）設x、y為正數(shù)，則有(x+y)(1x＋4y)的最小值為（ ）
A．15 B．12C．9 D．6
例2．函數(shù) 的值域是_________________________.
例3（2001江西、陜西、天津,全國、理） 設計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840cm2，畫面的寬與高的比為 ，畫面的上、下各有8cm空白，左、右各有5cm空白，怎樣確定畫面的高與寬尺寸，能使宣傳畫所用紙張的面積最小？
（三）基礎訓練：
1.設 且 則必有( )
(A) (B)
(C) (D)
2.（2004湖南理）設a＞0, b＞0，則以下不等式中不恒成立的是（ ）
（A） ≥4 （B） ≥
（C） ≥ （D） ≥
3.（2001春招北京、內(nèi)蒙、安徽、理）若 為實數(shù)，且 ，則 的最小值是（ ）
（A）18 （B）6（C） （D）
4. 已知a,b ,下列不等式中不正確的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
5．（2005福建）下列結論正確的是（ ）
A．當 B．
C． 的最小值為2D．當 無最大值
6. 已知兩個正實數(shù) 滿足關系式 , 則 的最大值是_____________.
7.若 且 則 中最小的一個是__________.
8.（2005北京春招、理）經(jīng)過長期觀測得到：在交通繁忙的時段內(nèi)，某公路段汽車的車流量 （千輛/小時）與汽車的平均速度 （千米/小時）之間的函數(shù)關系為： 。
（1）在該時段內(nèi)，當汽車的平均速度 為多少時，車流量最大？最大車流量為多少？（精確到 千輛/小時）
（2）若要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/小時，則汽車站的平均速度應在什么范圍內(nèi)？
（四）拓展訓練：
1.(2000全國、江西、天津、廣東）若 ,P= ,Q= ,R= ,則（ ）
（A）R<P<Q （B）P<Q<R （C）Q<P<R （D）P<R<Q
2．若正數(shù)a、b滿足ab=a+b+3，分別求ab與a+b的取值范圍。
參考答案
第04講： 基本不等式
（二）例題分析： 例1． C； 例2． ；
例3解：設畫面高為x cm，寬為λx cm，則λ x2 = 4840．
設紙張面積為S，有S = (x＋16) (λ x＋10)= λ x2＋(16λ＋10) x＋160，
將 代入上式，得 ．
當 時，即 時，S取得最小值．
此時，高： ，寬： ．
答：畫面高為88cm，寬為55cm時，能使所用紙張面積最小．
（三）基礎訓練： 1. B； 2. B； 3. B； 4. B 5．B； 6. 2 ; 7.
8. 解：（Ⅰ）依題意，
（Ⅱ）由條得
整理得v2－89v+1600<0, 即（v－25）（v－64）<0, 解得25<v<64.
答：當v=40千米/小時，車流量最大，最大車流量約為11.1千輛/小時.如果要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/小時，則汽車的平均速度應大于25千米/小時且小于64千米/小時．
（四）拓展訓練：1. B;
2．解：因為a、b是正數(shù)，所以 ，即 ，
法一：令 ，則 ，由ab=a+b+3≥2 +3，得 ，（t>0）
解得t≥3, 即 ，所以ab≥9,a+b=ab-3≥6.
法二：令 ，則由ab=a+b+3可知a+b+3 = ，得 ，（x>0）
整理得 ，又x>0，解得x≥6,即a+b≥6，所以ab=a+b+3≥9.
答： ab與a+b的取值范圍分別是 與 。
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