最小二乘估計教案
教學目標：
1、掌握最小二乘法的思想
2、能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程
教學重點：
最小二乘法的思想
教學難點：
線性回歸方程系數公式的應用
教學過程
回顧：上節課我們討論了人的身高與右手一拃長之間的線性關系，用了很多種方法來刻畫這種線性關系，但是這些方法都缺少數學思想依據。
問題1、用什么樣的線性關系刻畫會更好一些?
想法：保證這條直線與所有點都近(也就是距離最小)。
最小二乘法就是基于這種想法。
問題2、用什么樣的方法刻畫點與直線的距離會方便有效?
設直線方程為y=a+bx，樣本點A(xi，yi)
方法一、點到直線的距離公式
方法二、
顯然方法二能有效地表示點A與直線y=a+bx的距離，而且比方法一更方便計算，所以我們用它來表示二者之間的接近程度。
問題3、怎樣刻畫多個點與直線的接近程度?
例如有5個樣本點，其坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)與直線y=a+bx的接近程度：
從而我們可以推廣到n個樣本點：(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)與直線y=a+bx的接近程度：
使得上式達到最小值的直線y=a+bx就是我們所要求的直線，這種方法稱為最小二乘法
問題4、怎樣使 達到最小值?
先來討論3個樣本點的情況
設有3個點(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，則由最小二乘法可知直線y=a+bx與這3個點的接近程度由下面表達式刻畫：
①
整理成為關于a的一元二次函數 ，如下所示：
利用配方法可得
從而當 時，使得函數 達到最小值。
將 代入①式，整理成為關于b的一元二次函數 ，
同樣使用配方法可以得到，當
時，使得函數 達到最小值。
從而得到直線y=a+bx的系數a，b，且稱直線y=a+bx為這3個樣本點的線性回歸方程。
用同樣的方法我們可以推導出n個點的線性回歸方程的系數：
其中
由 我們知道線性回歸直線y=a+bx一定過 。
例題與練習
例1 在上一節練習中，從散點圖可以看出，某小賣部6天賣出熱茶的杯數(y)與當天氣溫(x)之間是線性相關的。數據如下表
氣溫(xi)/oC 26 18 13 10 4 -1
杯數(yi)/杯 20 24 34 38 50 64
(1) 試用最小二乘法求出線性回歸方程。
(2) 如果某天的氣溫是-3 oC，請預測可能會賣出熱茶多少杯。
解：(1)先畫出其散點圖
i xi yi xi2 xiyi
1 26 20 676 520
2 18 24 324 432
3 13 34 169 442
4 10 38 100 380
5 4 50 16 200
6 -1 64 1 -64
合計 70 230 1286 1910
可以求得
則線性回歸方程為
y =57.557-1.648x
(2)當某天的氣溫是-3 oC時，賣出熱茶的杯數估計為：
練習1 已知x，y之間的一組數據如下表，則y與x的線性回歸方程y=a+bx必經過點 ( D )
x 0 1 2 3
y 1 3 5 7
(A)(2，2) (B)(1.5，0) (C)(1，2) (D)(1.5，4)
練習2 某連鎖經營公司所屬5個零售店某月的銷售額和利潤額資料如下表：
商店名稱 A B C D E
銷售額(x)/千萬元 3 5 6 7 9
利潤額(y)/百萬元 2 3 3 4 5
(1) 畫出銷售額和利潤額的散點圖;
(2) 若銷售額和利潤額具有相關關系，計算利潤額y對銷售額x的回歸直線方程。
解：(1)
(2)數據如下表：
i xi yi xi2 xiyi
1 3 2 9 6
2 5 3 25 15
3 6 3 36 18
4 7 4 49 28
5 9 5 81 45
合計 30 17 200 112
可以求得b=0.5，a=0.4
線性回歸方程為：
小結
1、 最小二乘法的思想
2、 線性回歸方程的系數：
作業：P60 習題1-8 第1題
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