余弦定理教案

時間：2026-05-16 04:32:20 教案

（熱門）余弦定理教案

　　作為一無名無私奉獻的教育工作者，時常需要用到教案，教案有利于教學水平的提高，有助于教研活動的開展。教案應該怎么寫呢？以下是小編幫大家整理的余弦定理教案，希望能夠幫助到大家。

（熱門）余弦定理教案

余弦定理教案1

　　一、教材分析

　　《余弦定理》選自人教A版高中數學必修五第一章第一節第一課時。本節課的主要教學內容是余弦定理的內容及證明，以及運用余弦定理解決“兩邊一夾角”“三邊”的解三角形問題。

　　余弦定理的學習有充分的基礎，初中的勾股定理、必修一中的向量知識、上一課時的正弦定理都是本節課內容學習的知識基礎，同時又對本節課的.學習提供了一定的方法指導。其次，余弦定理在高中解三角形問題中有著重要的地位，是解決各種解三角形問題的常用方法，余弦定理也經常運用于空間幾何中，所以余弦定理是高中數學學習的一個十分重要的內容。

　　二、教學目標

　　知識與技能：

　　1、理解并掌握余弦定理和余弦定理的推論。

　　2、掌握余弦定理的推導、證明過程。

　　3、能運用余弦定理及其推論解決“兩邊一夾角”“三邊”問題。

　　過程與方法：

　　1、通過從實際問題中抽象出數學問題，培養學生知識的遷移能力。

　　2、通過直角三角形到一般三角形的過渡，培養學生歸納總結能力。

　　3、通過余弦定理推導證明的過程，培養學生運用所學知識解決實際問題的能力。

　　情感態度與價值觀：

　　1、在交流合作的過程中增強合作探究、團結協作精神，體驗解決問題的成功喜悅。

　　2、感受數學一般規律的美感，培養數學學習的興趣。

　　三、教學重難點

　　重點：余弦定理及其推論和余弦定理的運用。

　　難點：余弦定理的發現和推導過程以及多解情況的判斷。

　　四、教學用具

　　普通教學工具、多媒體工具（以上均為命題教學的準備）

余弦定理教案2

　　一、教學內容分析

　　人教版《普通高中課程標準實驗教科書·必修（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一單元第二課《余弦定理》。通過利用向量的數量積方法推導余弦定理，正確理解其結構特征和表現形式，解決“邊、角、邊”和“邊、邊、邊”問題，初步體會余弦定理解決“邊、邊、角”，體會方程思想，激發學生探究數學，應用數學的潛能。

　　二、學生學習情況分析

　　本課之前，學生已經學習了三角函數、向量基本知識和正弦定理有關內容，對于三角形中的邊角關系有了較進一步的認識。在此基礎上利用向量方法探求余弦定理，學生已有一定的學習基礎和學習興趣。總體上學生應用數學知識的意識不強，創造力較弱，看待與分析問題不深入，知識的系統性不完善，使得學生在余弦定理推導方法的探求上有一定的難度，在發掘出余弦定理的結構特征、表現形式的數學美時，能夠激發學生熱愛數學的思想感情；從具體問題中抽象出數學的本質，應用方程的思想去審視，解決問題是學生學習的一大難點。

　　三、設計思想

　　新課程的數學提倡學生動手實踐，自主探索，合作交流，深刻地理解基本結論的本質，體驗數學發現和創造的歷程，力求對現實世界蘊涵的一些數學模式進行思考，作出判斷；同時要求教師從知識的傳授者向課堂的設計者、組織者、引導者、合作者轉化，從課堂的執行者向實施者、探究開發者轉化。本課盡力追求新課程要求，利用師生的互動合作，提高學生的數學思維能力，發展學生的'數學應用意識和創新意識，深刻地體會數學思想方法及數學的應用，激發學生探究數學、應用數學知識的潛能。

　　四、教學目標

　　繼續探索三角形的邊長與角度間的具體量化關系、掌握余弦定理的兩種表現形式，體會向量方法推導余弦定理的思想；通過實踐演算運用余弦定理解決“邊、角、邊”及“邊、邊、邊”問題；深化與細化方程思想，理解余弦定理的本質。通過相關教學知識的聯系性，理解事物間的普遍聯系性。

　　五、教學重點與難點

　　教學重點是余弦定理的發現過程及定理的應用；教學難點是用向量的數量積推導余弦定理的思路方法及余弦定理在應用求解三角形時的思路。

　　六、教學過程：

　　七、教學反思

　　本課的教學應具有承上啟下的目的。因此在教學設計時既要兼顧前后知識的聯系，又要使學生明確本課學習的重點，將新舊知識逐漸地融為一體，構建比較完整的知識系統。所以在余弦定理的表現方式、結構特征上重加指導，只有當學生正確地理解了余弦定理的本質，才能更好地應用求解問題。本課教學設計力求在型（模型、類型），質（實質、本質），思（思維、思想方法）上達到教學效果。本課之前學生已學習過三角函數，平面幾何，平面向量、解析幾何、正弦定理等與本課緊密聯系的內容，使本課有了較多的處理工具，也使余弦定理的探討有了更加簡潔的工具。因此在本課的教學設計中抓住前后知識的聯系，重視數學思想的教學，加深對數學概念本質的理解，認識數學與實際的聯系，學會應用數學知識和方法解決一些實際問題。學生應用數學的意識不強，創造力不足、看待問題不深入，很大原因在于學生的知識系統不夠完善。因此本課運用聯系的觀點，從多角度看待問題，在提出問題、思考分析問題、解決問題等多方面對學生進行示范引導，將舊知識與新知識進行重組擬合及提高，幫助學生建立自己的良好知識結構。

　　點評：

　　本課是在學生學習了三角函數、平面幾何、平面向量、正弦定理的基礎上而設置的教學內容，因此本課的教學有較多的處理辦法。李老師從解三角形的問題出發，提出解題需要，引發認知沖突，激起學生的求知欲望，調動了學生的學習積極性；在定理證明的教學中，引導學生從平面幾何、三角函數、向量知識、坐標法等方面進行分析討論，注意分析思路，揭示蘊含在證明中的數學思想，最后引導學生用向量知識推導出公式，在給出余弦定理的三個等式和三個推論之后，又對知識進行了歸納比較，發現特征，便于學生識記，同時也指出了勾股定理是余弦定理的特殊情形，提高了學生的思維層次。

　　命題的應用是命題教學的一個重要環節，學習命題的重要目的是應用命題去解決問題。所以，例題的精選、講解是至關重要的。設計中的例1、例2是常規題，讓學生應用數學知識求解問題，鞏固正弦定理、余弦定理知識。例3是已知兩邊一對角，求解三角形問題，可用正弦定理求之，也可用余弦定理求解，通過比較分析，突出了正、余弦定理的聯系，深化了對兩個定理的理解，培養了解決問題的能力。但李老師在對例3解法的總結時，指出“能用正弦定理解決的問題均可以用余弦定理解決，更具有優越性。”這結論有點片面。本課在繼承了傳統數學教學模式優點，結合新課程的要求進行改進和發展，以發展學生的數學思維能力為主線，發揮教師的設計者，組織者作用，在使學生掌握知識的同時，幫助學生摸索自己的學習方法。

余弦定理教案3

　　一、單元教學內容

　　運算定律P——P

　　二、單元教學目標

　　1、探索和理解加法交換律、結合律，乘法交換律、結合律和分配律，能運用運算定律進行一些簡便計算。

　　2、理解和掌握減法和除法的運算性質，并能應用這些運算性質進行簡便計算。

　　3、會應用運算律進行一些簡便運算，掌握運算技巧，提高計算能力。

　　4、在經歷運算定律和運算性質的發現過程中，體驗歸納、總結和抽象的數學思維方法。

　　5、在經歷運算定律的字母公式形成過程中，能進行有條理地思考，并表達自己的思考結果。

　　6、經歷簡便計算過程，感受數的運算與日常生活的密切聯系，并在活動中學會與他人合作。

　　7、在經歷解決問題的'過程中，體驗運算律的價值，增強應用數學的意識。

　　三、單元教學重、難點

　　1、理解加法交換律、結合律，乘法交換律、結合律和分配律，能運用運算定律進行一些簡便計算。

　　2、理解和掌握減法和除法的運算性質，并能應用這些運算性質進行簡便計算。

　　四、單元教學安排

　　運算定律10課時

　　第1課時加法交換律和結合律

　　一、教學內容：加法交換律和結合律P17——P18

　　二、教學目標：

　　1、在解決實際問題的過程中，發現并掌握加法交換律和結合律，學會用字母表示加法交換律和結合律。

　　2、在探索運算律的過程中，發展分析、比較、抽象、概括能力，培養學生的符號感。

　　3、培養學生的觀察能力和概括能力。

　　三、教學重難點

　　重點：發現并掌握加法交換律、結合律。

　　難點：由具體上升到抽象，概括出加法交換律和加法結合律。

　　四、教學準備

　　多媒體課件

　　五、教學過程

　　(一)導入新授

　　1、出示教材第17頁情境圖。

　　師：在我們班里，有多少同學會騎自行車?你最遠騎到什么地方?師生交流后，課件出示李叔叔騎車旅行的場景：騎車是一項有益健康的運動，你看，這位李叔叔正在騎車旅行呢!

　　2、獲取信息。

　　師：從中你知道了哪些數學信息?(學生回答)

　　3、師小結信息，引出課題：加法交換律和結合律。

　　(二)探索發現

　　第一環節探索加法交換律

　　1、課件繼續出示：“李叔叔今天上午騎了40km，下午騎了56km，一共騎了多少千米?”

　　學生口頭列式，教師板書出示：40+56=96(千米) 56+40=96(千米)你能用等號把這兩道算式寫成一個等式嗎? 40+56=56+40你還能再寫出幾個這樣的等式嗎?

　　學生獨自寫出幾個這樣的等式，并在小組內交流各自寫出的等式，互相檢驗

　　寫出的等式是否符合要求。

　　2、觀察寫出的這些算式，你有什么發現?并用自己喜歡的方式表示出來。全班交流。從這些算式可以發現：兩個數相加，交換加數的位置，和不變。可以用符號來表示：?+☆=☆+?;

　　可以用文字來表示：甲數十乙數=乙數十甲數。

　　3、如果用字母a、b分別表示兩個加數，又可以怎樣來表示發現的這個規律呢? a+b=b+a

　　教師指出：這就是加法交換律。

　　4、初步應用：在( )里填上合適的數。

　　37+36=36+( )305+49=( )+305b+100=( )+b 47+( )=126+( ) m+( )=n+( ) 13+24=( )+( )第二環節探索加法結合律

　　1、課件出示教材第18頁例2情境圖。

　　師：從例2的情境圖中，你獲得了哪些信息?

　　師生交流后提出問題：要求“李叔叔三天一共騎了多少千米”可以怎樣列式?學生獨立列式，指名匯報。匯報預設：

　　方法一：先算出“第一天和第二天共騎了多少千米”：(88+104)+96=192+96 =288(千米)

　　方法二：先算出“第二天和第三天共騎了多少千米”：88+(104+96)=88+200=288(千米)

　　把這兩道算式寫成一道等式：

　　(88+104)+96=88+(104+96)

　　2、算一算，下面的○里能填上等號嗎?

　　(45+25)+13○45+(25+13)(36+18)+22○36+(18+22)

　　小組討論。先比較每組的兩個算式，再比較這三組算式，在小組里說說你有

　　什么發現。

　　集體交流，使學生明確：三個算式加數沒變，加數的位置也沒變，運算的順序變了，它們的和不變。也就是：三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后兩個數相加，和不變。

　　3、如果用字母a、b、c分別表示三個加數，可以怎樣用字母來表示這個規律呢? (a+b)+c=a+(b+c)

　　教師指出：這就是加法結合律。

　　4、初步應用。

　　在橫線上填上合適的數。 (45+36)+64=45+(36+) (560+)+ =560+(140+70) (360+)+108=360+(92+) (57+c)+d=57+(+)

　　(三)鞏固發散

　　1、完成教材第18頁“做一做”。

　　學生獨立填寫，組織匯報時，讓學生說說是根據什么運算律填寫的。

　　2、下面各等式哪些符合加法交換律，哪些符合加法結合律?

　　(1)470+320=320+470

　　(2)a+55+45=55+45+a

　　(3)(27+65)+35=27+(65+35)

　　(4)70+80+40=70+40+80

　　(5)60+(a+50)=(60+a)+50

　　(6)b+900=900+b

　　(四)評價反饋

　　通過今天這節課的學習，你有哪些收獲?

　　師生交流后總結：學習了加法交換律和結合律，并知道了如何用符號和字母來表示發現的規律。

　　(五)板書設計

　　加法交換律和結合律

　　加法交換律加法結合律

　　例1：李叔叔今天一共騎了多少千米?例2：李叔叔三天一共騎了多少千米? 40+56=96(千米) (88+104) +96 88+(104+96) 56+40=96(千米)=192+96 =88+200=288(千米) =288(千米) 40+56=56+40 (88+104)+96=88+(104+96) a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c)

　　兩個數相加，交換加數的位置，和不變。

　　六、教學后記

　　三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后兩個數相加，和不變。

余弦定理教案4

　　《余弦定理》教案

　　一、教材分析

　　余弦定理的學習有充分的基礎，初中的勾股定理、必修一中的向量知識、上一課時的正弦定理都是本節課內容學習的知識基礎，同時又對本節課的學習提供了一定的方法指導。其次，余弦定理在高中解三角形問題中有著重要的地位，是解決各種解三角形問題的`常用方法，余弦定理也經常運用于空間幾何中，所以余弦定理是高中數學學習的一個十分重要的內容。二、教學目標

　　知識與技能：1、理解并掌握余弦定理和余弦定理的推論。

　　2、掌握余弦定理的推導、證明過程。

　　3、能運用余弦定理及其推論解決“兩邊一夾角”“三邊”問題。過程與方法：1、通過從實際問題中抽象出數學問題，培養學生知識的遷移能力。

　　2、通過直角三角形到一般三角形的過渡，培養學生歸納總結能力。3、通過余弦定理推導證明的過程，培養學生運用所學知識解決實際問題的能力。

　　情感態度與價值觀：1、在交流合作的過程中增強合作探究、團結協作精神，體驗解決問題的成功喜悅。

　　2、感受數學一般規律的美感，培養數學學習的興趣。三、教學重難點

　　重點：余弦定理及其推論和余弦定理的運用。

　　難點：余弦定理的發現和推導過程以及多解情況的判斷。

　　四、教學用具

　　普通教學工具、多媒體工具（以上均為命題教學的準備）

余弦定理教案5

　　一、教材依據：人民教育出版社（A版）數學必修5第一章第二節

　　二、設計思想：

　　1、教材分析：余弦定理是初中“勾股定理”內容的直接延拓，是解三角形這一章知識的一個重要定理，揭示了任意三角形邊角之間的關系，是解三角形的重要工具，余弦定理與平面幾何知識、向量、三角形有著密切的聯系。因此，做好“余弦定理”的教學，不僅能復習鞏固舊知識，使學生掌握新的有用的知識，體會聯系、發展等辯證觀點，而且能培養學生的應用意識和實踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學習的能力。

　　2、學情分析：這節課是在學生已經學習了正弦定理及有關知識的基礎上，轉入對余弦定理的學習，此時學生已經熟悉了探索新知識的數學教學過程，具備了一定的分析能力。

　　3、設計理念：由于余弦定理有較強的實踐性，所以在設計本節課時，創設了一些數學情景，讓學生從已有的幾何知識出發，自己去分析、探索和證明。激發學生濃厚的學習興趣，提高學生的創新思維能力。

　　4、教學指導思想：根據當前學生的學習實際和本節課的內容特點，我采用的是“問題教學法”，精心設計教學內容，提出探究性問

　　找到解決問題的方法。

　　三、教學目標：

　　1、知識與技能：

　　理解并掌握余弦定理的內容，會用向量法證明余弦定理，能用余弦定理解決一些簡單的三角度量問題

　　2．過程與方法：

　　通過實例，體會余弦定理的內容，經歷并體驗使用余弦定理求解三角形的過程與方法，發展用數學工具解答現實生活問題的能力。

　　3．情感、態度與價值觀：

　　探索利用直觀圖形理解抽象概念，體會“數形結合”的思想。通過余弦定理的應用，感受余弦定理在解決現實生活問題中的意義。

　　四、教學重點：

　　通過對三角形邊角關系的探索，證明余弦定理及其推論，并能應用它們解三角形及求解有關問題。

　　五、教學難點：余弦定理的靈活應用

　　六、教學流程：

　　(一)創設情境，課題導入：

　　1、復習：已知A=300,C=450,b=16解三角形。（可以讓學生板練）

　　2、若將條件C=450改成c=8如何解三角形？

　　設計意圖：把研究余弦定理的問題和平面幾何中三角形全等判定的方法建立聯系，溝通新舊知識的聯系，引導學生體會量化

　　師生活動：用數學符號來表達“已知三角形的兩邊及其夾角解三角形”：已知△ABC，BC=a,AC=b,和角C，求解c,B,A引出課題：余弦定理

　　（二）設置問題，知識探究

　　1、探究：我們可以先研究計算第三邊長度的問題，那么我們又從那些角度研究這個問題能得到一個關系式或計算公式呢？設計意圖：期望能引導學生從各個不同的方面去研究、探索得到余弦定理。

　　師生活動：從某一個角度探索并得出余弦定理

　　2、①考慮用向量的數量積：如圖A

　　設CBa,CAb,ABc,那么，cab222ccc(ab)(ab)ab2abcosCB即cab222ab2abcosC,引導學生證明22222

　　bc2bccosAca2cacosB2②還引導學生運用此法來進行證明

　　3、余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的（可以讓學生自己總結，教師補充完整）

　　（三）典型例題剖析：

　　1、例1：在△ABC中，已知b=2cm,c=2cm,A=1200,解三角形。

　　教師分析、點撥并板書證明過程

　　總結：已知三角形的兩邊和它們的夾角解三角形，基本思路是先由余弦定理求出第三邊，再由正弦定理求其余各角。變式引申：在△ABC中，已知b=5,c=

　　53,A=300,解三角形。

　　2、探究：余弦定理是關于三角形三邊和一個角的一個關系式，把這個關系式作某些變形，是否可以解決其他類型的解三角形問題？

　　設計意圖：（1）引入余弦定理的推論（2）對一個數學式子作某種變形，從而得到解決其他類型的'數學問題，這是一種基本的研究問題的方法。

　　師生活動：對余弦定理作某些變形，研究變形后所得關系式的應用。因此應把重點引導到余弦定理的推論上去，即討論已知三邊求角的問題。

　　引入余弦定理的推論：cosA=cosB=acb2ac222bca2bc2222 , , cosC=

　　abc2ab22

　　公式作用：（1）、已知三角形三邊，求三角。

　　（2）、若A為直角，則cosA=0，從而b2+c2=a2

　　若A為銳角，則cosA>0,從而b2+c2>a2

　　若A為鈍角，則cosA﹤0,從而b2+c2﹤a2

　　62,求A、B、C例2:已知在ABC中,a23,b22,c

　　先讓學生自己分析、思索，老師進行引導、啟發和補充，最后師生一起求解。

　　總結：對于已知三角形的三邊求三角這種類型，解三角形的基本思路是先由余弦定理求出兩角，再用三角形內角和定理求出第三角。（可以先讓學生歸納總結，老師補充）變式引申：在△ABC中，a:b:c=2:讓學生板練，師生共同評判

　　3、三角形形狀的判定：

　　例3：在△ABC中，acosA=bcosB,試確定此三角形的形狀。

　　（教師引導學生分析、思考，運用多種方法求解）

　　求解思路：判斷三角形的形狀可有兩種思路，一是利用邊之間的關系來判定，在運算過程中，盡可能地把角的關系化為邊的關系；二是利用角之間的關系來判定，將邊化成角。

　　變式引申：在△ABC中，若（a+b+c）(b+c-a)=3bc,并且sinA=2sinBcosC,判斷△ABC的形狀。

　　讓學生板練，發現問題進行糾正。

　　（四）課堂檢測反饋：

　　1、已知在△ABC中，b=8,c=3,A=600,則a=()A 2 B 4 C 7 D 9

　　6:（3+1),求A、B、C。、在△ABC中，若a=

　　3+1,b=

　　3-1,c=

　　10,則△ABC的最大角的度數為（）A 1200 B 900 C 600 D 1500

　　3、在△ABC中，a:b:c=1:

　　3:2,則A：B：C=（）

　　A 1：2：3 B 2：3：1 C 1：3：2 D 3：1：2

　　4、在不等邊△ABC中，a是最大的邊，若a25、在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，則△ABC的形狀是（）A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D非鈍角三角形（五）課時小結：（學生自己歸納、補充，培養學生的口頭表達能力和歸納概括能力，教師總結）運用多種方法推導出余弦定理，并靈活運用余弦定理解決解三角形的兩種類型及判斷三角形的形狀問題。（六）課后作業：課本第10頁A組3（2）、4（2）；B組第2題（七）教學反思：本堂課的設計，立足于所創設的情境，注重提出問題，引導學生自主探索、合作交流，親身經歷了提出問題、解決問題的過程，學生成為余弦定理的“發現者”和“創造者”，切身感受到了創造的苦和樂，知識目標、能力目標、情感目標均得到了較好的落實。

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