《勾股定理應用》教案

時間：2026-03-29 01:28:04 教案

《勾股定理應用》教案

　　作為一名教職工，時常需要編寫教案，借助教案可以更好地組織教學活動。來參考自己需要的教案吧！以下是小編為大家整理的《勾股定理應用》教案，希望能夠幫助到大家。

《勾股定理應用》教案

《勾股定理應用》教案1

　　一、學生知識狀況分析

　　本節將利用勾股定理及其逆定理解決一些具體的實際問題，其中需要學生了解空間圖形、對一些空間圖形進行展開、折疊等活動。學生在學習七年級上第一章時對生活中的立體圖形已經有了一定的認識，并從事過相應的實踐活動，因而學生已經具備解決本課問題所需的知識基礎和活動經驗基礎。

　　二、教學任務分析

　　本節是義務教育課程標準北師大版實驗教科書八年級(上)第一章《勾股定理》第3節。具體內容是運用勾股定理及其逆定理解決簡單的實際問題。當然，在這些具體問題的解決過程中，需要經歷幾何圖形的抽象過程，需要借助觀察、操作等實踐活動，這些都有助于發展學生的分析問題、解決問題能力和應用意識；一些探究活動具體一定的難度，需要學生相互間的合作交流，有助于發展學生合作交流的能力。

　　三、本節課的教學目標是：

　　1.通過觀察圖形，探索圖形間的關系，發展學生的空間觀念.

　　2.在將實際問題抽象成數學問題的過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數學建模的思想.

　　3.在利用勾股定理解決實際問題的過程中，體驗數學學習的實用性.

　　利用數學中的建模思想構造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決實際問題是本節課的重點也是難點.

　　四、教法學法

　　1.教學方法

　　引導—探究—歸納

　　本節課的教學對象是初二學生，他們的參與意識教強，思維活躍，為了實現本節課的教學目標，我力求以下三個方面對學生進行引導：

　　(1)從創設問題情景入手，通過知識再現，孕育教學過程;

　　(2)從學生活動出發，順勢教學過程;

　　(3)利用探索研究手段，通過思維深入，領悟教學過程.

　　2.課前準備

　　教具：教材、電腦、多媒體課件.

　　學具：用矩形紙片做成的圓柱、剪刀、教材、筆記本、課堂練習本、文具.

　　五、教學過程分析

　　本節課設計了七個環節.第一環節：情境引入;第二環節：合作探究;第三環節：做一做;第四環節：小試牛刀;第五環節：舉一反三;第六環節：交流小結;第七環節：布置作業.

　　1.3勾股定理的應用：課后練習

　　一、問題引入：

　　1、勾股定理：直角三角形兩直角邊的________等于________。如果用a,b和c表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么________。

　　2、勾股定理逆定理：如果三角形三邊長a,b，c滿足________，那么這個三角形是直角三角形

　　1.3勾股定理的應用：同步檢測

　　1.為迎接新年的到來，同學們做了許多拉花布置教室，準備召開新年晚會，小劉搬來一架高2.5米的'木梯，準備把拉花掛到2.4米高的墻上，則梯腳與墻角距離應為( )

　　A.0.7米B.0.8米C.0.9米D.1.0米

　　2.小華和小剛兄弟兩個同時從家去同一所學校上學，速度都是每分鐘走50米.小華從家到學校走直線用了10分鐘，而小剛從家出發先去找小明再到學校(均走直線)，小剛到小明家用了6分鐘，小明家到學校用了8分鐘，小剛上學走了個( )

　　A.銳角彎B.鈍角彎C.直角彎D.不能確定

　　3.如圖，是一個圓柱形飲料罐，底面半徑是5，高是12，上底面中心有一個小圓孔，則一條到達底部的直吸管在罐內部分a的長度(罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計)范圍是( )

　　A.5≤a≤12 B.5≤a≤13 C.12≤a≤13 D.12≤a≤15

　　4.一個木工師傅測量了一個等腰三角形木板的腰、底邊和高的長，但他把這三個數據與其它的數據弄混了，請你幫助他找出來，是第( )組.

　　A.13，12，12 B.12，12，8 C.13，10，12 D.5，8，4

《勾股定理應用》教案2

　　教學課題：

　　勾股定理的應用

　　教學時間（日期、課時）：

　　教材分析：

　　學情分析：

　　教學目標：

　　能運用勾股定理及直角三角形的判定條件解決實際問題．

　　在運用勾股定理解決實際問題的過程中，感受數學的“轉化” 思想(把解斜三角形問題轉化為解直角三角形的問題)，進一步發展有條理思考和有條理表達的能力，體會數學的應用價值．

　　教學準備

　　《數學學與練》

　　集體備課意見和主要參考資料

　　頁邊批注

　　教學過程

　　一．新課導入

　　本課時的教學內容是勾股定理在實際中的應用。除課本提供的情境外，教學中可以根據實際情況另行設計一些具體情境，也利用課本提供的素材組織數學活動。比如，把課本例2改編為開放式的問題情境：

　　一架長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m．如果梯子的頂端下滑0.5m，你認為梯子的底端會發生什么變化?與同學交流．

　　創設學生身邊的問題情境，為每一個學生提供探索的空間，有利于發揮學生的主體性；這樣的問題學生常常會從自己的生活經驗出發，產生不同的思考方法和結論(教學中學生可能的結論有：

　　底端也滑動0.5m；如果梯子的'頂端滑到地面上，梯子的頂端則滑動8m，估計梯子底端的滑動小于8m，所以梯子的頂端下滑0.5m，它的底端的滑動小于0.5m；構造直角三角形，運用勾股定理計算梯子滑動前、后底端到墻的垂直距離的差，得出梯子底端滑動約0.61m的結論等)。

　　通過與同學交流，完善各自的想法，有利于學生主動地把實際問題轉化為數學問題，從中感受用數學的眼光審視客觀世界的樂趣．

　　二．新課講授

　　問題一在上面的情境中，如果梯子的頂端下滑1m，那么梯子的底端滑動多少米?

　　組織學生嘗試用勾股定理解決問題，對有困難的學生教師給予及時的幫助和指導．

　　問題二從上面所獲得的信息中，你對梯子下滑的變化過程有進一步的思考嗎?與同學交流．

　　設計問題二促使學生能主動積極地從數學的角度思考實際問題．教學中學生可能會有多種思考．比如，

　　①這個變化過程中，梯子底端滑動的距離總比頂端下滑的距離大；

　　②因為梯子頂端下滑到地面時，頂端下滑了8m，而底端只滑動4m，所以這個變化過程中，梯子底端滑動的距離不一定比頂端下滑的距離大；

　　③由勾股數可知，當梯子頂端下滑到離地面的垂直距離為6m，即頂端下滑2m時，底端到墻的垂直距離是8m，即底端電滑動2m等。

　　教學中不要把尋找規律作為這個探索活動的目標，應讓學生進行充分的交流，使學生逐步學會運用數學的眼光去審視客觀世界，從不同的角度去思考問題，獲得一些研究問題的經驗和方法．

　　3．例題教學

　　課本的例1是勾股定理的簡單應用，教學中可根據教學的實際情況補充一些實際應用問題，把課本習題2.7第4題作為補充例題．通過這個問題的討論，把“32+b2=c2”看作一個方程，設折斷處離地面x尺，依據問題給出的條件就把它轉化為熟悉的會解的一元二次方程32+x2=(10—x)2，從中可以讓學生感受數學的“轉化”思想，進一步了解勾股定理的悠久歷史和我國古代人民的聰明才智．

　　三．鞏固練習

　　1.甲、乙兩人同時從同一地點出發，甲往東走了4km，乙往南走了6km，這時甲、乙兩人相距__________km．

　　2．如圖，一圓柱高8cm，底面半徑2cm，一只螞蟻從點A爬到點B處吃食，要爬行的最短路程（取3）是（）．

　　（A）20cm（B）10cm（C）14cm（D）無法確定

　　3.如圖，一塊草坪的形狀為四邊形ABCD，其中∠B=90°，AB=3m，BC=4m，CD=12m，AD=13m．求這塊草坪的面積．

　　四．小結

　　我們知道勾股定理揭示了直角三角形的三邊之間的數量關系，已知直角三角形中的任意兩邊就可以依據勾股定理求出第三邊．從應用勾股定理解決實際問題中，我們進一步認識到把直角三角形中三邊關系“a2+b2=c2”看成一個方程，只要依據問題的條件把它轉化為我們會解的方程，就把解實際問題轉化為解方程．

《勾股定理應用》教案3

　　【學習目標】

　　能運用勾股定理及直角三角形的判別條件解決簡單的實際問題.

　　【學習重點】

　　勾股定理及直角三角形的判別條件的運用.

　　【學習重點】

　　直角三角形模型的建立.

　　【學習過程】

　　一.課前復習

　　勾股定理及勾股定理逆定理的區別

　　二.新課學習

　　探究點一：螞蟻沿圓柱側面爬行的最短路徑問題

　　1.3如圖，有一個圓柱，它的高等于12cm，底面圓的周長是18cm.在圓柱下底面的A點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點處的食物，沿圓柱側面爬行的最短路程是多少？

　　思考：

　　1.利用學具，嘗試從A點到B點沿圓柱側面畫出幾條線路，你認為

　　這樣的線路有幾條？可分為幾類？

　　2.將右圖的圓柱側面剪開展開成一個長方形，B點在什么位置？從

　　A點到B點的最短路線是什么?你是如何畫的?

　　1.33.螞蟻從A點出發，想吃到B點上的食物，它沿圓柱側面爬行的最短路程是多少？你是如何解答這個問題的？畫出圖形，寫出解答過程。

　　4.你是如何將這個實際問題轉化為數學問題的？

　　小結：

　　你是如何解決圓柱體側面上兩點之間的最短距離問題的？

　　探究點二：利用勾股定理逆定理如何判斷兩線垂直？

　　1.31.31.3李叔叔想要檢測雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直底邊AB，

　　但他隨身只帶了卷尺。（參看P13頁雕塑圖1-13）

　　（1）你能替他想辦法完成任務嗎？

　　1.31.3（2）李叔叔量得AD的長是30cm，AB的長是40cm，

　　BD長是50cm.AD邊垂直于AB邊嗎？你是如何解決這個問題的？

　　（3）小明隨身只有一個長度為20cm的刻度尺，他能有辦法檢驗AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？

　　小結：通過本道例題的探索，判斷兩線垂直，你學會了什么方法？

　　探究點三：利用勾股定理的方程思想在實際問題中的應用

　　例圖1-14是一個滑梯示意圖，若將滑道AC水平放置，則剛好與AB一樣長.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，試求滑道AC的長.

　　1.3

　　思考：

　　1.求滑道AC的.長的問題可以轉化為什么數學問題？

　　2.你是如何解決這個問題的？寫出解答過程。

　　小結：

　　方程思想是勾股定理中的重要思想，勾股定理反應的直角三角形三邊的關系正是構建方程的基礎．

　　四．課堂小結：本節課你學到了什么？

　　三．新知應用

　　1.如圖，臺階A處的螞蟻要爬到B處搬運食物，它怎么走最近？并求出最近距離．

　　1.3

　　2.如圖，在水池的正中央有一根蘆葦，池底長10尺，它高出水而1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達池邊的水面則這根蘆葦的長度是（）

　　1.3

　　五．作業布置：習題1.41，3，4題

　　【反思】

　　一、教師我的體會：

　　①、我根據學生實際情況認真備課這節課，書本總共兩個例題，且兩個例題都很難，如果一節課就講這兩題難題，那一方面學生的學習效率會比較低，另一方面會使學生畏難情緒增加。所以，我簡化教材，使教材易于操作，讓學生易于學習，有利于學生學習新知識、接受新知識，降低學習難度。

　　把教材讀薄，

　　②、除了備教材外，還備學生。從教案及授課過程也可以看出，充分考慮到了學生的年齡特點：對新事物有好奇心，但對新知識的鉆研熱情又不夠高，這樣，造成教學難度較大，為了改變這一狀況，在處理教材時，把某些數學語言轉換成通俗文字來表達，把難度大的運用能力降低為難度稍細的理解能力，讓學生樂于面對奧妙而又有一定深度的數學，樂于學習數學。

　　③、新課選用的例子、練習，都是經過精心挑選的，運用性強，貼近生活，與生活實際緊密聯系，既達到學習、鞏固新知識的目的，同時，又充分展現出數學教學的重大特征：數學源于生活實際，又服務于生活實際。勾股定理源于生活，但同時它又能極大的為生活服務。

　　④、使用多媒體進行教學，使知識顯得形象直觀，充分發揮現代技術作用。

　　二、學生體會：

　　課前，我們也去查閱了一些資料，關于勾股定理的證明以及有關的一些應用，通過這節課，真真發現勾股定理真真來源于生活，我們的幾何圖形和幾何計算對于勾股定理來說非常廣泛，而且以后更要用好它。對于勾股定理都應用時，我覺得關鍵是找到相關的三角形，并且分清直角邊或斜邊，靈活機智地進行計算和一些推理。另外與同學間在數學課上有自主學習的機會，有相互之間的討論、爭辯等協作的機會，在合作學習的過程中共同提高我覺得都是難得的機會。鍛煉了能力，提高了思維品質，并且勾股定理的應用中我覺得圖形很美，古代的數學家已經有了很好的研究并作出了很大的貢獻，現代的藝術家們也在各方面用到很多，同時在課堂中漸漸地培養了我們的數學興趣和一定的思維能力。

　　不過課堂上老師在最后一題的畫圖中能放一放，讓我們有時間去思考怎么畫，那會更好些，自然思維也得到了發展。課上老師鼓勵我們嘗試不完善的甚至錯誤的意見，大膽發表自己的見解，體現了我們是學習的主人。數學課堂里充滿了智慧。

《勾股定理應用》教案4

　一、利用勾股定理進行計算

　　1.求面積

　　例1:如圖1,在等腰△ABC中,腰長AB=10cm,底BC=16cm,試求這個三角形面積。

　　析解:若能求出這個等腰三角形底邊上的高,就可以求出這個三角形面積。而由等腰三角形"三線合一"性質,可聯想作底邊上的高AD,此時D也為底邊的中點,這樣在Rt△ABD中,由勾股定理得AD2=AB2-BD2=102-82=36,所以AD=6cm,所以這個三角形面積為×BC×AD=×16×6=48cm2。

　　2.求邊長

　　例2:如圖2,在△ABC中,∠C=135?,BC=,AC=2,試求AB的長。

　　析解:題中沒有直角三角形,不能直接用勾股定理,可考慮過點B作BD⊥AC,交AC的延長線于D點,構成Rt△CBD和Rt△ABD。在Rt△CBD中,因為∠ACB=135?,所以∠BCB=45?,所以BD=CD,由BC=,根據勾股定理得BD2+CD2=BC2,得BD=CD=1,所以AD=AC+CD=3。在Rt△ABD中,由勾股定理得AB2=AD2+BD2=32+12=10,所以AB=。

　　點評:這兩道題有一個共同的特征,都沒有現成的直角三角形,都是通過添加適當的'輔助線,巧妙構造直角三角形,借助勾股定理來解決問題的,這種解決問題的方法里蘊含著數學中很重要的轉化思想,請同學們要留心。

　　二、利用勾股定理的逆定理判斷直角三角形

　　例3:已知a,b,c為△ABC的三邊長,且滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。試判斷△ABC的形狀。

　　析解:由于所給條件是關于a,b,c的一個等式,要判斷△ABC的形狀,設法求出式中的a,b,c的值或找出它們之間的關系(相等與否)等,因此考慮利用因式分解將所給式子進行變形。因為a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,所以a2-10a+b2-24b+c2-26c+338=0,所以a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0,所以(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0。因為(a-5)2≥0,(b-12)2≥0,(c-13)2≥0,所以a-5=0,b-12=0,c-13=0,即a=5,b=12,c=13。因為52+122=132,所以a2+b2=c2,即△ABC是直角三角形。

　　點評:用代數方法來研究幾何問題是勾股定理的逆定理的"數形結合思想"的重要體現。

　　三、利用勾股定理說明線段平方和、差之間的關系

　　例4:如圖3,在△ABC中,∠C=90?,D是AC的中點,DE⊥AB于E點,試說明:BC2=BE2-AE2。

　　析解:由于要說明的是線段平方差問題,故可考慮利用勾股定理,注意到∠C=∠BED=∠AED=90?及CD=AD,可連結BD來解決。因為∠C=90?,所以BD2=BC2+CD2。又DE⊥AB,所以∠BED=∠AED=90?,在Rt△BED中,有BD2=BE2+DE2。在Rt△AED中,有AD2=DE2+AE2。又D是AC的中點,所以AD=CD。故BC2+CD2=BC2+AD2=BC2+DE2+AE2=BE2+DE2,所以BE2=BC2+AE2,所以BC2=BE2-AE2。

　　點評:若所給題目的已知或結論中含有線段的平方和或平方差關系時,則可考慮構造直角三角形,利用勾股定理來解決問題。

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