證明直線與圓相切的方法
在我們平凡的日常里，大家高中數(shù)學(xué)免不了要接觸或直線與圓相切吧，以下是小編幫大家整理的證明直線與圓相切的方法，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。
證明直線與圓相切主要有以下兩種方法：
一、根據(jù)切線的判定定理
經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
當(dāng)已知直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常用此法。輔助線是連結(jié)公共點(diǎn)和圓心，只要設(shè)法證明直線與半徑垂直即可。
例1. （2004年江蘇省淮安市中考題）
已知：如圖1，在△ABC中，∠BAC的平分線AD交△ABC的外接圓⊙O于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)G。
圖1
（1）連結(jié)CD，若AG＝4，DG＝2，求CD的長(zhǎng)；（解略）
（2）過(guò)點(diǎn)D作EF∥BC，分別交AB、AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、F。求證：EF與⊙O相切。
證明：（2）連結(jié)OD，由∠1＝∠2，
得
，則OD⊥BC
所以
因?yàn)镋F∥BC，所以∠BCD＝∠CDF
從而
即EF⊥OD，所以EF與⊙O相切。
例2. （2002年湖北省黃岡市中考題）
如圖2，BE是⊙O的直徑，點(diǎn)A在BE的延長(zhǎng)線上，弦PD⊥BE，垂足為C，連結(jié)OD，且∠AOD＝∠APC。
（1）求證：AP是⊙O的切線。
（2）略。
圖2
證明：連結(jié)OP，因?yàn)镻D⊥BE，OP＝OD
所以∠POB＝∠DOB，而∠APD＝∠DOB
所以∠POB＝∠APD
由PD⊥BE得：∠POB＋∠OPC＝90°
即∠APD＋∠OPC＝90°
所以AP是⊙O的切線
二、根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系
若圓心到直線的距離等于圓的半徑，則直線與圓相切。
當(dāng)題設(shè)中不能肯定直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常用此法。輔助線是過(guò)圓心作該直線的垂線段，只要設(shè)法證明垂線段等于半徑即可。
例3. （2003年甘肅省中考題）
如圖3，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C為圓心、r為半徑作圓，當(dāng)r＝2.4時(shí)，AB與圓有怎樣的位置關(guān)系？為什么？
圖3
解：作CD⊥AB，垂足為D，則
由CD·AB＝AC·BC得：
即AB與圓相切。
例4. 如圖4，AB是⊙O的直徑，AC⊥l，BD⊥l，C、D為垂足，且AC＋BD＝AB，求證：直線l與⊙O相切。
圖4
證明：過(guò)O作OE⊥l，E為垂足，則
OE∥AC∥BD，又AO＝BO
所以
而
，則
即垂線段OE等于圓的半徑，所以直線l是⊙O的切線。
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