等積變形的策略

時間：2022-10-26 07:12:12 學習方法

等積變形的策略

　　在中考數學中我們經常會遇到求陰影部分的面積的題目，它們的形狀多數不規則，這時就會用到等積變形下面是等積變形的幾種的常用策略

　　一、平移

　　例：從大半圓中剪去一個小半圓(小半圓的直徑在大半圓的直徑MN上)點O為大半圓的圓心，AB是大半圓的弦，且與小半圓相切，AB‖ MN。已知AB=24cm，求陰影部分的面積。

　　分析：由于只知道了弦AB的長，所以就不可能直接求出陰影部分的面積，此時因為AB‖ MN，兩條平行線間的距離保持不變，所以可以通過平移小半圓，使小半圓的圓心與大半圓的圓心重合，然后作OC⊥ AB，垂足為點C，連接OB，利用Rt △OCB就很容易得出正確答案。具體過程為：

　　解：設大半圓與小半圓的半徑分別為R、r ，平移小半圓，使小半圓的圓心與大半圓的圓心重合，作OC⊥ AB，垂足為點C，則

　　AC=BC =12cm .連接OB，在Rt △OCB中，R2-r2=122.

　　所以S陰影=п(R2-r2)/2=72п(cm2)

　　例2:：如圖，AB是以點O為圓心的半圓的直徑，C，D是弧AB的三等分點，點E是線段AB上的任意一點，已知圓O的半徑為1，求圖中陰影部分的面積.

　　分析：這個題目中的陰影部分的面積也是不規則的，但是因為C，D是弧AB的三等分點，連結CD、OC、OD后，很容易得到AB‖CD，在弓形面積不變的情況下點E在向點O平移的過程中△ECD形狀改變，但面積不變，所以陰影部分的面積就等于半圓面積減掉60度扇形的面積即等于120度扇形的面積。

　　二、旋轉

　　例：矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB為直徑的半圓O與DC相切于點E，求陰影部分的面積

　　分析：見切點連圓心，連接OE交DB于點F，△DEF與△ DBF全等，△DEF以點F為旋轉中心順時針或逆時針旋轉可使兩個三角形重合，陰影部分的面積等于四分之一的圓的面積

　　三、對稱

　　例：在每個小格邊長為1的方格紙上利用圓規作出如圖所示的圖形，圖中的陰影部分的面積是多少?

　　分析：左側的陰影部分與右側的空白部分相對應，所以陰影部分可以通過折疊組合成兩個半圓環和一個半圓，結果不難得出。

　　四、拆分與組合

　　例：如圖，兩個半徑為1，圓心角是90度的扇形OAB和扇形O`A`B`疊放在一起，點O`在弧AB上，四邊形OPO`Q是正方形，則陰影部分的面積等于多少?

　　分析：如圖拼湊，陰影部分的面積實際等于半圓的面積減去兩個正方形的面積

　　例：2008年奧運會將在北京舉行，你們知道嗎?國際奧委會會旗上的圖案是由代表五大洲的五個圓環組成，每個圓環的內外圓直徑分別是8和10，圖中兩兩相交成的小曲邊形(閃爍部分)的面積相等，已知五個圓環覆蓋的面積是122.5平方單位，請你計算出每個小曲邊形的面積(п取3.14)

　　分析：只要明確出“五個圓環覆蓋的面積”與獨立的五個圓環所占面積之間的區別，就會得到每一個小曲邊形的面積實際是獨立的五個圓環所占的面積減去“五個圓環覆蓋的面積”后結果的八分之一

　　中考的題目千變萬化但是在求陰影部分的面積的題目中萬變不離其中只要同學們注意觀察抓住要素，運用相應的策略，圖形就會變得規則，題目就會變得簡單。

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