《直線的方程》數學課教案

時間：2023-03-26 00:56:18 教案

《直線的方程》數學課教案

　　高二數學上冊《直線的方程》第二課時教案

《直線的方程》數學課教案

　　●教學目標

　　(一)教學知識點

　　1.直線方程的兩點式.

　　2.直線方程的截距式.

　　(二)能力訓練要求

　　1.掌握直線方程的兩點式的形式特點及適用范圍.

　　2.了解直線方程截距式的形式特點及適用范圍.

　　(三)德育滲透目標

　　1.認識事物之間的普遍聯系與相互轉化.

　　2.用聯系的觀點看問題.

　　●教學重點

　　直線方程的兩點式.

　　●教學難點

　　兩點式推導過程的理解.

　　●教學方法

　　學導式

　　本節的學習過程與上一節一樣，始終遵循由淺及深，由特殊到一般的認知規律，讓學生在應用舊知識的過程中探究，通過老師的引導啟發得到新的結論，并通過新舊知識的比較、分析、應用獲得新知識的特點，從而達到理解進而掌握的目的.

　　整節課堂的教學活動要注意最大限度地發揮學生的主體參與，并要求學生嘗試運用直線方程的多種形式解題，以形成學生靈活的解題方法.

　　●教具準備

　　投影片三張

　　第一張：兩點式的推導(記作7.2.2 A)

　　第二張：截距式的推導(記作7.2.2 B)

　　第三張：本節例題(記作7.2.2 C)

　　●教學過程

　　Ⅰ.課題導入

　　［師］上一節課，我們一起學習了直線方程的點斜式，并要求大家熟練掌握.下面，我們利用點斜式來解答如下題目：

　　已知直線l經過兩點P1（1，2），P2（3，5），求直線l的方程.

　　［師］下面，我們讓一位同學來說一下此題的解答思路.

　　［生］由于直線兩點坐標已知，所以可根據斜率公式求出過兩點的直線斜率，然后再將求出的直線斜率與點P1坐標代入點斜式，即可獲得所求直線方程.

　　［師］很好，那么我們一起來作出解答.

　　解：＝5?23? 3?12

　　由點斜式得：

　　－2＝3(x-1) 2

　　［師］由上述過程，我們可以看出，已知直線上兩點坐標，便可得到直線方程，也即我們通常所說的“兩點確定一條直線”，那么，能否將P1，P2的坐標推廣到一般呢?這也就是我

　　們這節課將要研究的問題.

　　Ⅱ.講授新課

　　1.直線方程的兩點式

　　?1x?x1（x1≠x2，1≠2） ?2?1x2?x1

　　其中，x1，1，x2，2是直線上兩點P1（x1，1）、P2（x2，2）的坐標.

　　(給出投影片7.2.2 A)

　　推導：因為直線l經過點P（1）、P（2）并且x1≠x2，所以它的斜率＝1x1，2x2，

　　（x1≠x2）代入點斜式得： 2?1x2?x1

　　－1＝2?1（x－x1) x2?x1

　　當2≠1時，方程可以寫成

　　?1x?x1（x1≠x2，1≠2） ?2?1x2?x1

　　說明：(1)這個方程由直線上兩點確定；(2)當直線沒有斜率(x1＝x2）或斜率為0(1＝2）時，不能用兩點式求出它的方程.

　　［師］下面我們來看兩點式的應用.

　　2.例題講解

　　［例4］已知直線l與x軸的交點為(a，0），與軸的交點為（0，b），其中a≠0，b≠0，求直線l的方程.

　　分析：此題條件符合兩點式的適用范圍，可以直接代入.

　　解：由兩點式得

　　?0x?a? b?00?a

　　x即?＝1 ab

　　說明：(1)這一直線方程由直線在x軸和軸上的截距確定，所以叫做直線方程的截距式；(2)截距式適用于橫、縱截距都存在且都不為0的直線.

　　［師］下面我們通過例題進一步熟悉各種直線方程形式的應用.

　　［例5］三角形的頂點是A（－5，0），B（3，－3），C（0，2），這個三角形三邊所在的直線方程.

　　解法一：(用兩點式)

　　直線AB經過點A(－5，0)，B(3，－3)，由兩點式得

　　?0x?(?5)?， ?3?03?(?5)

　　整理得3x＋８＋15＝0，這就是直線AB的方程.

　　直線B、C經過點B(3，－3)，C（0，2），由兩點式得

　　?(?3)x?3 ?2?(?3)0?3

　　整理得5x＋3－6＝0

　　這就是直線BC的方程.

　　直線AC過A(－5，0)，C(0，2)，由兩點式得

　　?0x?(?5) ?2?00?(?5)

　　整理得2x－5＋10＝0.

　　這就是直線AC的方程.

　　解法二：(用斜截式求BC所在直線方程)

　　∵BC＝2?(?3)5?? 0?33

　　∴由斜截式得

　　＝－＋2

　　整理得5x＋3－6＝0

　　這就是直線BC的方程.

　　解法三：(用截距式求直線AC的方程)

　　∵直線AC的橫、縱截距分別為－5，2.

　　∴由截距式得 53

　　x?＝1 ?52

　　整理得2x－5＋10＝0

　　這就是直線AC的方程.

　　評述：此題可采用多種方法求解，體現了直線方程多種形式應用的靈活性，應要求學生予以重視.

　　Ⅲ.課堂練習

　　課本P４1練習 1，2.

　　1.求經過下列兩點的直線的兩點式方程，再化成斜截式方程.

　　(1)P1（2，1），P2（0，－3）；

　　(2)A（0，5），B（5，0）；

　　(3)C（－４，－5），D（0，0）.

　　解：(1)直線P1P2的兩點式方程為：

　　?1x?2? ?3?10?2

　　整理得斜截式方程為：

　　＝2x－3.

　　(2)直線AB的兩點式方程為：

　　?5x?0? 0?55?0

　　整理得斜截式方程為：

　　＝－x+5

　　(3)直線CD的兩點式方程為：

　　?0x?0? ?5?0?4?0

　　整理得斜截式方程為：

　　＝5x. 4

　　2.根據下列條件求直線方程，并畫出圖形：

　　(1)在x軸上的截距為2，在軸上的截距是3；

　　(2)在x軸上的截距是－5，在軸上的截距是6?

　　解：(1)由截距式得：

　　x?＝1 23

　　整理得：3x＋2－6＝0

　　(2)由截距式得

　　x?＝1 ?56

　　整理得：6x－5＋30＝0

　　圖形依次為：

　　Ⅳ.課時小結

　　通過本節學習，要求大家掌握直線方程的兩點式，了解直線方程的截距式，并能運用直線方程的多種形式靈活求解直線方程.

　　Ⅴ.課后作業

　　（一）課本P44習題7.2

　　6.求證A(1，3），B（5，7），C（10，12）三點在同一直線上.

　　7?34?＝1 5?14

　　12?39?＝1 AC＝10?19證明：∵AB＝

　　∴AB＝AC

　　又∵AB與AC有相同起點A

　　∴A、B、C三點共線.

　　說明：此題也可通過兩點式求出直線AB的方程，再檢驗點C也符合直線AB方程，從而證明A、B、C三點共線.

　　7.(1)已知三角形的頂點是A(８，5）、B（４，－2）、C(－6，3)，求經過每兩邊中點的三條直線的方程.

　　(2)△ABC的頂點是A（0，5），B（1，－2），C（－6，4），求BC邊上的中線所在的直線的方程

　　5x?(?)?12 ?55?10?(?)2

　　整理得８x－5＋25＝0

　　這就是BC邊上的中線所在直線方程.

　　（二）1.預習內容：P４2～４3

　　2.預習提綱：

　　（1）直線方程的一般式有何特點?

　　（2）直線方程的一般式能否與其他形式互相轉化?

　　●板書設計

　　高二數學上學期直線的斜率與傾斜角例題（三）

　　［例1］求經過兩點P1（2，1）和P2（，2）（∈R)的直線l的斜率，并且求出l的傾斜角α及其取值范圍.

　　選題意圖：考查傾斜角與斜率之間的關系及斜率公式.

　　解：(1)當=2時，x1＝x2＝2，∴直線l垂直于x軸，因此直線的斜率不存在，傾斜角α=? 2

　　(2)當≠2時，直線l的斜率=

　　∴α=arctan1∵＞2時，＞0. ?21?,α∈（0，）， ?22

　　1?，α∈(,π). ?22

　　1，）共線，求的值. 2∵當＜2時，＜0 ∴α＝π＋arctan說明：利用斜率公式時，應注意斜率公式的應用范圍. ［例2］若三點A(－2，3），B（3，－2），C（

　　選題意圖：考查利用斜率相等求點的坐標的方法.

　　解：∵A、B、C三點共線，

　　∴ｋAB＝ｋAC，?2?3?3?. 13?2?22

　　解得=1. 2

　　說明：若三點共線，則任意兩點的斜率都相等，此題也可用距離公式來解.

　　［例3］已知兩點A(－1,－5),B(3,－2),直線l的傾斜角是直線AB傾斜角的一半，求直線l的斜率.

　　選題意圖：強化斜率公式.

　　解：設直線l的傾斜角α，則由題得直線AB的傾斜角為2α. ∵tan2α=ｋAB=?2?(?5)3?. 3?(?1)4

　　?2tan?3? 1?tan2?4

　　1或tanα＝－3. 3即3tan2α+8tanα－3=0，解得tanα＝

　　∵tan2α＝3＞0,∴0°＜2α＜90°, 4

　　0°＜α＜45°，

　　∴tanα＝1. 3

　　1 3因此，直線l的斜率是

　　說明：由2α的正切值確定α的范圍及由α的范圍求α的正切值是本例解法中易忽略的地方.

　　命題否定的典型錯誤及制作

　　在教材的第一章安排了《常用邏輯用語》的內容．從課本內容安排上看，顯得較容易，但是由于對邏輯聯結詞不能做到正確理解，在解決這部分內容涉及的問題時容易出錯．下面僅對命題的否定中典型錯誤及常見制作方法加以敘述．

　　一、典型錯誤剖析

　　錯誤1——認為命題的否定就是否定原命題的結論在命題的否定中，有許多是把原命題中的結論加以否定．如命題：2是無理數，其否定是：2不是無理數．但據此就認為命題的否定就是否定原命題的結論就錯了．

　　例1 寫出下列命題的否定：

　　⑴ 對于任意實數x，使x＝1；

　　⑵ 存在一個實數x，使x＝1．

　　錯解：它們的否定分別為

　　⑴ 對于任意實數x，使x≠1；

　　⑵ 存在一個實數x，使x≠1．

　　剖析：對于⑴是全稱命題，要否定它只要存在一個實數x，使x≠1即可；對于⑵是存在命題，要否定它必須是對所有實數x，使x≠1．

　　正解：⑴存在一個實數x，使x≠1；

　　⑵對于任意實數x，使x≠1．

　　錯誤2——認為命題的否定就是原命題中的判斷詞改和其意義相反的判斷詞

　　在命題的否定中，有許多是把原命題中的判斷詞改為相反意義的詞，如“是”改為“不是”、“等”改為“不等”、“大于”改為“小于或等于”等．但對于聯言命題及選言命題，還要把邏輯聯結詞“且”與“或”互換． 22222222

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　　例2 寫出下列命題的否定：

　　⑴ 線段AB與CD平行且相等；

　　⑵ 線段AB與CD平行或相等．

　　錯解：⑴ 線段AB與CD不平行且不相等；

　　⑵ 線段AB與CD不平行或不相等．

　　剖析：對于⑴是聯言命題，其結論的含義為：“平行且相等”，所以對原命題結論的否定除“不平行且不相等”外，還應有“平行且不相等”、“不平行且相等”；而⑵是選言命題，其結論包含“平行但不相等”、“不平行但相等”、“平行且相等”三種情況，故否定就為“不平行且不相等”．

　　正解：⑴ 線段AB與CD不平行或不相等；

　　⑵ 線段AB與CD不平行且不相等．

　　錯誤3——認為“都不是”是“都是”的否定

　　例3 寫出下列命題的否定：

　　⑴ a，b都是零；

　　⑵ 高一(一)班全體同學都是共青團員．

　　錯解：⑴ a，b都不是零；

　　⑵ 高一(一)班全體同學都不是共青團員．

　　剖析：要注意“都是”、“不都是”、“都不是”三者的關系，其中“都是”的否定是“不都是”，“不都是”包含“都不是”；“至少有一個”的否定是“一個也沒有”．

　　正解：⑴a，b不都是零，即“a，b中至少有一個不是零”．

　　⑵ 高一(一)班全體同學不都是共青團員，或寫成：高一(一)班全體同學中至少有一人共青團員．

　　錯誤4——認為“命題否定”就是“否命題”

　　根據邏輯學知識，任一命題p都有它的否定(命題)非p(也叫負命題、反命題)；而否命題是就假言命題(若p則q)而言的．如果一個命題不是假言命題，就無所謂否命題，也就是說，我們就不研究它的否命題．我們應清醒地認識到：假言命題“若p則q”的否命題是“若非p則非q”，而“若p則q”的否定(命題)則是“p且非q”，而不是“若p則非q”．

　　例4 寫出命題“滿足條件C的點都在直線F上”的否定．

　　錯解：不滿足條件C的點不都在直線F上．

　　⑴ 3＋4＞6；

　　⑵ 2是偶數．

　　解：所給命題的否定分別是：

　　⑴ 3＋4≤6；

　　⑵ 2不是偶數．

　　2．含有全稱量詞和存在量詞的簡單命題

　　全稱量詞相當于日常語言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一個”等，形如“所有A是B”，其否定為“存在某個A不是B”；存在量詞相當于 “存在一個”，“有一個”，“有些”，“至少有一個”，“至多有一個”等，形如“某一個A是B”，其否定是“對于所有的A都不是B”．

　　全稱命題的否定是存在命題，存在命題的否定是全稱命題．

　　例6 寫出下列命題的否定：

　　⑴ 不論取什么實數，x＋x－＝0必有實根．