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        教案

        雙曲線的幾何性質教案

        時間:2022-11-15 08:26:19 教案

        雙曲線的幾何性質教案

          作為一名教學工作者,總不可避免地需要編寫教案,編寫教案有利于我們弄通教材內容,進而選擇科學、恰當的教學方法。寫教案需要注意哪些格式呢?以下是小編收集整理的雙曲線的幾何性質教案,歡迎大家分享。

        雙曲線的幾何性質教案

        雙曲線的幾何性質教案1

          一、課前預習目標

          理解并掌握雙曲線的幾何性質,并能從雙曲線的標準方程出發,推導出這些性質,并能具體估計雙曲線的形狀特征。

          二、預習內容

          1、雙曲線的幾何性質及初步運用。

          類比橢圓的幾何性質。

          2。雙曲線的漸近線方程的導出和論證。

          觀察以原點為中心,2a、2b長為鄰邊的矩形的兩條對角線,再論證這兩條對角線即為雙曲線的`漸近線。

          三、提出疑惑

          同學們,通過你的自主學習,你還有哪些疑惑,請把它填在下面的表格中

          課內探究

          1、橢圓與雙曲線的幾何性質異同點分析

          2、描述雙曲線的漸進線的作用及特征

          3、描述雙曲線的離心率的作用及特征

          4、例、練習嘗試訓練:

          例1。求雙曲線9y2—16x2=144的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程。

          解:

          解:

          5、雙曲線的第二定義

          1)、定義(由學生歸納給出)

          2)、說明

          (七)小結(由學生課后完成)

          將雙曲線的幾何性質按兩種標準方程形式列表小結。

          作業:

          1、已知雙曲線方程如下,求它們的兩個焦點、離心率e和漸近線方程。

          (1)16x2—9y2=144;

          (2)16x2—9y2=—144。

          2、求雙曲線的標準方程:

          (1)實軸的長是10,虛軸長是8,焦點在x軸上;

          (2)焦距是10,虛軸長是8,焦點在y軸上;

          曲線的方程。

          點到兩準線及右焦點的距離。

        雙曲線的幾何性質教案2

          ㈠課時目標

          1.熟悉雙曲線的幾何性質。

          2.能理解離心率的大小對雙曲線形狀的影響。

          3.能運用雙曲線的幾何性質或圖形特征,確定焦點的位置,會求雙曲線的標準方程。

          ㈡教學過程[情景設置]

          敘述橢圓的幾何性質,并填寫下表:方程性質

          圖像(略)范圍-a≤x≤a,-b≤y≤b對稱性對稱軸、對稱中心頂點(±a,0)、(±b,0)離心率e=(幾何意義)

          [探索研究]1.類比橢圓的幾何性質,探討雙曲線的幾何性質:范圍、對稱性、頂點、離心率。雙曲線的實軸、虛軸、實半軸長、虛半軸長及離心率的定義。雙曲線與橢圓的幾何性質對比如下:方程性質

          圖像(略)(略)范圍-a≤x≤a,-b≤y≤bx≥a,或x≤-a,y∈R對稱性對稱軸、對稱中心對稱軸、對稱中心頂點(±a,0)、(±b,0)(-a,0)、(a,0)離心率0<e=<1e=>1

          下面繼續研究離心率的幾何意義:(a、b、c、e關系:c2=a2+b2, e=>1)

          2.漸近線的發現與論證根據橢圓的上述四個性質,能較為準確地把畫出來嗎?(能)根據上述雙曲線的四個性質,能較為準確地把畫出來嗎?(不能)通過列表描點,能把雙曲線的頂點及附近的點,比較精確地畫出來,但雙曲線向何處伸展就不很清楚。我們能較為準確地畫出曲線y=,這是為什么?(因為當雙曲線伸向遠處時,它與x軸、y軸無限接近)此時,x軸、y軸叫做曲線y=的漸近線。問:雙曲線有沒有漸近線呢?若有,又該是怎樣的直線呢?引導猜想:在研究雙曲線的范圍時,由雙曲線的標準方程可解出:y=± =±當x無限增大時,就無限趨近于零,也就是說,這是雙曲線y=±與直線y=±無限接近。這使我們猜想直線y=±為雙曲線的漸近線。直線y=±恰好是過實軸端點A1、A2,虛軸端點B1、B2,作平行于坐標軸的直線x=±a, y=±b所成的矩形的兩條對角線,那么,如何證明雙曲線上的點沿曲線向遠處運動時,與漸近線越來越接近呢?顯然,只要考慮第一象限即可。證法1:如圖,設M(x0,y0)為第一象限內雙曲線上的仍一點,則y0=,M(x0,y0)到漸近線ay-bx=0的距離為:∣MQ∣= ==.點M向遠處運動,x0隨著增大,∣MQ∣就逐漸減小,M點就無限接近于y=故把y=±叫做雙曲線的漸近線。

          3.離心率的幾何意義∵e=,c>a, ∴e>1由等式c2-a2=b2,可得===e越小(接近于1)越接近于0,雙曲線開口越小(扁狹)e越大越大,雙曲線開口越大(開闊)

          4.鞏固練習求下列雙曲線的漸近線方程,并畫出雙曲線。 ①4x2-y2=4 ②4x2-y2=-4已知雙曲線的漸近線方程為x±2y=0,分別求出過以下各點的雙曲線方程①M(4,)②M(4,)[知識應用與解題研究]例1求雙曲線9y2-16x2=144的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程。例2雙曲線型自然通風塔的外形,是雙曲線的`一部分繞其虛軸旋轉而成的曲面,如圖;它的最小半徑為12m,上口半徑為13m,下口半徑為25m,高為55m,選擇適當的坐標系,求出此雙曲線的方程(精確到1m)

          ㈣提煉總結

          1.雙曲線的幾何性質及a、b、c、e的關系。

          2.漸近線是雙曲線特有的性質,其發現證明蘊含了重要的數學思想與數學方法。

          3.雙曲線的幾何性質與橢圓的幾何性質類似點和不同點。

        雙曲線的幾何性質教案3

        雙曲線的幾何性質(第1課時)

          ㈠課時目標

          1.熟悉雙曲線的幾何性質。

          2.能理解離心率的大小對雙曲線形狀的影響。

          3.能運用雙曲線的幾何性質或圖形特征,確定焦點的位置,會求雙曲線的標準方程。

          ㈡教學過程

          [情景設置]

          敘述橢圓 的幾何性質,并填寫下表:

          方程

          性質

          圖像(略)

          范圍-a≤x≤a,-b≤y≤b

          對稱性對稱軸、對稱中心

          頂點(±a,0)、(±b,0)

          離心率e=(幾何意義)

          (三)探索研究

          1.類比橢圓 的幾何性質,探討雙曲線 的幾何性質:范圍、對稱性、頂點、離心率。

          雙曲線的實軸、虛軸、實半軸長、虛半軸長及離心率的定義。

          雙曲線與橢圓的幾何性質對比如下:

          方程

          性質

          圖像(略) (略)

          范圍-a≤x≤a,-b≤y≤bx≥a,或x≤-a,y∈R

          對稱性對稱軸、對稱中心對稱軸、對稱中心

          頂點(±a,0)、(±b,0)(-a,0)、(a,0)

          離心率0<e=<1

          e=>1

          下面繼續研究離心率的幾何意義:

          (a、b、c、e關系:c2=a2+b2, e=>1)

          2。漸近線的發現與論證

          根據橢圓的上述四個性質,能較為準確地把 畫出來嗎?(能)

          根據上述雙曲線的四個性質,能較為準確地把 畫出來嗎?(不能)

          通過列表描點,能把雙曲線的頂點及附近的點,比較精確地畫出來,但雙曲線向何處伸展就不很清楚。

          我們能較為準確地畫出曲線y=,這是為什么?(因為當雙曲線伸向遠處時,它與x軸、y軸無限接近)此時,x軸、y軸叫做曲線y=的漸近線。

          問:雙曲線 有沒有漸近線呢?若有,又該是怎樣的直線呢?

          引導猜想:在研究雙曲線的范圍時,由雙曲線的標準方程可解出:

          y=± =±

          當x無限增大時, 就無限趨近于零,也就是說,這是雙曲線y=±

          與直線y=± 無限接近。

          這使我們猜想直線y=± 為雙曲線的漸近線。

          直線y=± 恰好是過實軸端點A1、A2,虛軸端點B1、B2,作平行于坐標軸的直線x=±a, y=±b所成的矩形的兩條對角線,那么,如何證明雙曲線上的點沿曲線向遠處運動時,與漸近線越來越接近呢?顯然,只要考慮第一象限即可。

          證法1:如圖,設M(x0,y0)為第一象限內雙曲線 上的仍一點,則

          y0= ,M(x0,y0)到漸近線ay-bx=0的距離為:

          ∣MQ∣= =

          = .

          點M向遠處運動, x0隨著增大,∣MQ∣就逐漸減小,M點就無限接近于 y=

          故把y=± 叫做雙曲線 的漸近線。

          3.離心率的幾何意義

          ∵e=,c>a, ∴e>1由等式c2-a2=b2,可得 ===

          e越小(接近于1) 越接近于0,雙曲線開口越小(扁狹)

          e越大 越大,雙曲線開口越大(開闊)

          4.鞏固練習

          求下列雙曲線的漸近線方程,并畫出雙曲線。

          ①4x2-y2=4 ②4x2-y2=-4

          已知雙曲線的漸近線方程為x±2y=0,分別求出過以下各點的雙曲線方程

          ①M(4, ) ②M(4, )

          [知識應用與解題研究]

          例 1 求雙曲線9y2-16x2=144的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程。

          例2 雙曲線型自然通風塔的外形,是雙曲線的'一部分繞其虛軸旋轉而成的曲面,如圖;它的最小半徑為12m,上口半徑為13m,下口半徑為25m,高為55m,選擇適當的坐標系,求出此雙曲線的方程(精確到1m)

          ㈣提煉總結

          1。雙曲線的幾何性質及a、b、c、e的關系。

          2。漸近線是雙曲線特有的性質,其發現證明蘊含了重要的數學思想與數學方法。

          3。雙曲線的幾何性質與橢圓的幾何性質類似點和不同點。

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