大學物理本科教學研究論文
一、引言
自然界中存在無數的無序、非平衡和隨機的非線性系統。自然界面對的更多的是非線性問題。而我們的大學物理教學介紹的幾乎全是線性問題，即使遇到非線性問題，不是回避就是把它線性化，這是大學物理教學的一個缺點。我們在大學物理教學中引入混沌、復雜網絡及自組織臨界理論和分形等非線性物理知識，通過介紹理論和在課堂上用多媒體演示，使大學一年級的學生很容易理解非線性物理的知識，對物理規律的認識更加深入和全面，并取得了良好的教學效果。
二、混沌
非線性動力學中提出的混沌理論已經成為目前非線性科學研究中的熱點問題。無數的無序、非平衡和隨機的非線性系統存在于自然界中。美國的著名氣象學家Lorenz建立了一個仿真的氣象模型。Lorenz的氣象模型對初始條件的微小不同是非常敏感的，他把此種現象稱之為“蝴蝶效應”。也就是說：在巴西熱帶雨林的蝴蝶扇動翅膀，有可能在美國德克薩斯州產生一場龍卷風。這個效應告訴我們初始條件非常重要。我們嘗試在大學物理課堂教學上用多媒體演示各種典型混沌系統的吸引子和功率譜，運用MATLAB編程展示系統如何進入混沌，還有混沌對初值的敏感性，許多非線性動力學系統都是通過倍周期分岔從規則運動進人混沌運動的，系統如果處于混沌運動狀態，那么它以后的運動狀態將敏感依賴初值，并且具有不可預測性。我們通過這些多媒體演示，使大學一年級學生很容易理解非線性混沌的知識，并取得了較好的教學效果，對大學本科學生的物理教學具有指導意義。
三、復雜網絡和自組織臨界理論
（一）復雜網絡
自然界和人類社會中存在的大量復雜系統都可通過各種網絡來描述。至于用什么樣的網絡拓撲結構才能對實際系統進行準確的描述，人們研究此問題經歷了三個時期：規則網絡、隨機網絡和復雜網絡。最初科學家們認為真實系統各因素間的關系可用一些規則結構表示，如歐幾里德網格。后來數學家們構想，兩個節點之間連邊與否不再具有確定性，而是由概率確定，此網絡稱為隨機網絡。近十幾年來科學家研究得出結論：很多實際網絡既不是隨機網絡，也不是規則網絡，而是具有與隨機網絡和規則網絡都不同性質的網絡，稱之為復雜網絡。這些工作發表在國際頂級期刊Nature和Science上，對復雜網絡的研究標志著第三個時期的網絡研究的來臨。Watts。D。J等經過研究發現，復雜網絡具有無標度特性和小世界效應，這是復雜網絡與隨機網絡和規則網絡都不同的統計特征。描述網絡的基本參數有兩個：網絡的平均距離和網絡的簇系數。在網絡中，連接兩個節點最短路徑所包含的邊的數目稱為它們間的距離，網絡的平均距離就是把所有節點對的距離求平均。規則網絡和隨機網絡是兩個極端。只需要在規則網絡上稍作隨機改動就可以同時具備大的簇系數和小的平均距離兩個性質。物理學家把大的簇系數和小的平均距離兩個特征統稱為小世界效應。我們嘗試在大學物理課堂教學上用多媒體演示了復雜網絡和規則網絡、隨機網絡的不同之處，通過這些演示，可以使大學一年級的本科生對復雜網絡和規則網絡、隨機網絡有簡單的了解，并取得了不錯的教學效果，也對網絡的認知更加全面。
（二）自組織臨界理論
社會生活和自然界中存在著眾多的“標度不變”行為。很多不規則復雜的分形結構存在于自然界中，例如山巒、海岸線、云霧等，它們的基本特征共同之處都是同時具有標度不變性和自相似性。在生物學、地震學、社會學、經濟學和語言學里，我們也總是能找到某一個量N（S）來表示為另一個量S的冪次：N（S）∞S—τ，即這個量的概率分布在雙對數圖上基本是一條直線，它表明對其而言無特征尺度，各種大小的量均可出現。BakP等人提出自組織臨界理論來解釋此現象，他們用原胞自動機模型（現在被稱為“沙堆模型”）來闡述自組織臨界理論，其雪崩大小概率分布服從冪指規律，表明雪崩事件是高度關聯的。
復雜網絡可廣泛用來描述自然與社會領域的眾多現象，網絡是包含大量個體及個體之間相互作用的系統，“節點”代表系統的組成元素，“邊”說明元素之間的關系。物理學家研究發現很多真實網絡的度分布也呈現無標度特性。復雜網絡的無標度特性表明它與自組織臨界性存在著極其密切的關系。ArcangelisLDe等以沙堆模型為背景研究了二維小世界網絡的自組織臨界性，對于任意的重連概率，系統均展示自組織臨界行為。網絡拓撲結構是否會影響沙堆模型中的雪崩動力學是物理學家爭論的一個焦點，周濤等對無標度網絡上自組織臨界沙堆模型的研究表明，沙堆模型的雪崩動力學性質對復雜網絡特殊的拓撲結構非常敏感。潘貴軍等研究了復雜網絡上定向沙堆模型的自組織臨界行為，發現網絡的方向性顯著影響了復雜網絡上的動力學行為。孫凡等還研究了復雜網絡上地震模型的自組織臨界行為，發現不同的不均勻性、倒塌規則和驅動機制一定會影響系統的臨界行為，改變模型的普適類。
這些工作對復雜系統研究都具有積極的意義。我們嘗試在大學物理課堂教學上用計算機編程演示了自組織臨界沙堆模型，通過這些演示，可以使大學一年級的學生對自組織臨界理論有簡單的了解。通過這些多媒體演示，使大學一年級學生很容易理解自組織臨界理論的一些基本概念和基本觀點，并取得了較好的教學效果。
四、分形
分形理論是非線性物理的一個重要分支。分形（Fractal）概念是由MandclbrotBB在Science上發表的一篇論文中提出的。目前分形理論已經應用于很多領域，如數學、材料學、生物學、地理學和計算機科學等。
（一）謝爾賓斯基“地毯”
謝爾賓斯基“地毯”是一種規則分形，此分型的形成方法是取一正方形，將它等分為九個正方形，我們去掉中間的正方形，隨后把留下來的八個正方形彼此再均分成為更微小的九個正方形，然后我們再去掉彼此中央的正方形。我們按照這個規則一直分至無窮小，它的極限圖就構成了謝爾賓斯基“地毯”。這個極限圖形的面積是接近零的，但是小正方形的數量接近無窮打，作為小正方形邊的線段總長度趨于無窮大。它的圖形則具有嚴格的無標度性和自相似性，圖形的空間維數處于1和2之間。
（二）科契雪花曲線
“科契雪花”曲線的構造規則是，以一個正三角形作為源多邊形，即為初始元。將正三角形的每一條邊三等分，舍去中間的1/3，而改變成夾角為60°的兩端等長的折線。從該三角形一條邊出發進行演變的過程：首先將正三角形的一條邊的直線部分按生成元來變形，形成折線，照這樣不斷繼續下去，一直到無窮，它的極限圖形就形成了科契曲線的一部分。再將該部分曲線順、逆時針各旋轉300°，拼接組合，即形成科契曲線。因為它的形狀很像雪花，所以我們稱之為“科契雪花”曲線。我們在課堂上介紹了兩種基本規則分形圖形謝爾賓斯基“地毯”和“科契雪花”曲線的形成過程，計算了它們各自的分維值，并用MATLAB程序進行了模擬繪制。我們通過多媒體演示，使大學一年級的學生很容易掌握分形的知識，并取得了很好的教學效果。
五、結語
在大學物理課堂上引入混沌、復雜網絡及自組織臨界理論和分形等非線性物理知識，通過介紹混沌、復雜的網絡及自組織臨界理論和分形的基本理論，以及在課堂上用多媒體演示混沌吸引子、復雜網絡和自組織臨界沙堆模型、分形圖形的形成過程，使大學一年級的學生對非線性物理的知識有一個簡單的了解，可使大學一年級學生對物理規律的認識更加深入和全面，并取得了不錯的教學效果。
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